Logaritmikus eloszlás

Tömegfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

A logaritmikus eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás, mely a MacLaurin-sor kiterjesztéséből vezethető le (a MacLaurin-sor a Taylor-sor egy speciális esete):

$-\ln (1-p)=p+\frac{p^2}{2}+\frac{p^3}{3}+\cdots .$

Ebből kapjuk:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}=1.$

A Log(p)-eloszlású valószínűségi változó tömegfüggvénye:

$f(k)=\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$

k≥1 értékekre, és ahol 0<p<1. A fentiek miatt az eloszlás normalizált. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$F(k)=1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$

ahol B az inkomplett bétafüggvény. Poissonnal kevert Log(p)-eloszlású változónak negatív binomiális eloszlása van. Más szavakkal, ha N egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó, és X_i, i = 1, 2, 3, ...egy végtelen sora az egymástól független, azonos valószínűségi változóknak, melyeknek Log(p)-eloszlása van, akkor

$\sum _{i=1}^N{X}_i$- negatív binomiális eloszlású.

Ily módon a negatív binomiális eloszlás, egy összetett Poisson-eloszlás.

Ronald Aylmer Fisher egy publikációjában a negatív binomiális eloszlást a fajok relatív bőségének a modelljeként írja le.

Jellemző paraméterek

• Tartomány=$k\in \{1,2,3,\dots \}$|
• Sűrűségfüggvény=$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k}$|
• Kumulatív eloszlásfüggvény=$1+\frac{\mathrm{B}(p;k+1,0)}{\ln (1-p)}$|
• Középérték=$\frac{-1}{\ln (1-p)}\frac{p}{1-p}$|
• Módusz=$1$
• Szórásnégyzet=$-p\frac{p+\ln (1-p)}{(1-p{)}^2{\ln }^2(1-p)}$|
• Momentum generáló függvény=$\frac{\ln (1-p\exp (t))}{\ln (1-p)}\text{ for }t<-\ln p$|
• Karakterisztikus függvény=$\frac{\ln (1-p\exp (it))}{\ln (1-p)}\text{ for }t\in ℝ$|
• Generátorfüggvény=$\frac{\ln (1-pz)}{\ln (1-p)}\text{ for }|z|<\frac{1}{p}$|

Kapcsolódó szócikkek

• Poisson-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika

Irodalom

• Sablon:CitLib

Jegyzetek

• A logaritmikus eloszlás a MathWorld-ön
• A logaritmikus eloszlás