Lambert-sor

A Lambert-sor a matematikában egy

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{q^n}{1-q^n}.$

alakú sor. Formálisan átírható a következőképpen:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{nk}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{q}^m$

ahol az új sor együtthatói a_n és a konstans 1 függvény Dirichlet-konvolúciójával számítható ki:

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}{a}_n.$

Ez a sor a Möbius-féle megfordítási formulával invertálható, és a Möbius-transzformáció egy példája.

Példák

Mivel ez az utóbbi tipikus számelméleti összeg, majdnem minden multiplikatív számelméleti függvény egzaktul összegezhető, ha Lambert-sorként van megadva. Így például

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_0(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n}$

ahol ${\sigma }_0(n)=d(n)$ az n szám pozitív osztóinak száma.

Magasabb rendű osztófüggvényekre

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{\alpha }{q}^n}{1-q^n}$

ahol $\alpha$ tetszőleges komplex szám, és

${\sigma }_{\alpha }(n)=({\text{Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}{d}^{\alpha }$

az osztófüggvény.

Azok a Lambert-sorok, amelyekben a_n-nek trigonometrikus függvények, például a_n = sin(2n x), a Jacobi-féle théta-függvények logaritmikus deriváltjainak különféle kombinációiként értékelhetők ki.

A többi ismert Lambert-sor közé tartozik a $\mu (n)$ Möbius-függvényé:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\frac{q^n}{1-q^n}=q.$

A $\varphi (n)$ Euler-függvény:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (n)\frac{q^n}{1-q^n}=\frac{q}{(1-q{)}^2}.$

A $\lambda (n)$ Liouville-függvény:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (n)\frac{q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}$

ahol a bal oldali összeg a Ramanudzsan-féle théta-függvényhez hasonló.

Alternatív alak

Elvégezve a $q=e^{-z}$ helyettesítést a sor egy másik, gyakran használt alakját kapjuk:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{e^{zn}-1}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{e}^{-mz}$

ahol

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}{a}_d$

mint előbb. A Lambert-sor ebben az alakjában, $z=2\pi$ helyettesítéssel a Riemann-féle zéta-függvény definíciójában látható páratlan egész értékeire.

Alkalmazása

Az irodalomban különféle összegeket neveznek Lambert-sornak. Például, mivel $q^n/(1-q^n)={\mathrm{L}\mathrm{i}}_0(q^n)$ polilogaritmikus függvény, ezért minden

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\xi }^n{\mathrm{L}\mathrm{i}}_u(\alpha q^n)}{n^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^n{\mathrm{L}\mathrm{i}}_s(\xi q^n)}{n^u}$

alakú sort nevezhetünk Lambert-sornak, feltéve, hogy a paraméterek megfelelők. Emiatt

$12{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{-1}(q^n))}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{-5}(q^n)-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^4{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{-3}(q^n),$

ami teljesül minden komplex q-ra, ami nincs az egységkörön, és ez a Lambert-sorra vonatkozó azonosságnak tekinthető. Ez következik több, Ramanudzsan által kiadott azonosságból. Ramanudzsan munkásságának nagy részét Bruce Berndt dolgozta fel.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite journal
• * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, Sablon:ISBN
• Sablon:Springer
• Sablon:Mathworld

Fordítás

• Sablon:Fordítás