Kolmogorov–Szmirnov-próba

A Kolmogorov–Szmirnov próba egy statisztikai teszt, ami a nem-paraméteres próbák közé tartozik. A teszt két minta eloszlásának összehasonlítására alkalmas. Egymintás t-próbát vizsgálunk vele a tapasztalati és az elméleti eloszlásfüggvény eltérésének maximuma alapján. Alkalmas arra, hogy két valószínűségi változó eloszlását összehasonlítsuk, vagy ellenőrizzük, hogy egy valószínűségi változónak csakugyan az az eloszlása, amit feltételeztünk.

A próbát Andrej Nyikolajevics Kolmogorov dolgozta ki.

Magyarázata

Legyen X a vizsgált statisztika, aminek eloszlása nem ismert, de feltételezzük, hogy megegyezik az F₀ eloszlással. Nullhipotézisünk tehát:

$H_0:F_X(x)=F_0(x)$

Az ellenhipotézis:

$H_1:F_X(x)\ne F_0(x)$

A próba a $F_n$ tapasztalati eloszlást hasonlítja össze az $F_0$ eloszlással a

$d_n=\Vert F_n-F_0\Vert =\underset{x}{\sup }|F_n(x)-F_0(x)|,$

tesztstatisztika segítségével, ahol sup a szuprémumot jelöli. A Glivenko–Cantelli-tétel szerint a tapasztalati eloszlásfüggvény egyenletesen tart a valódi eloszlásfüggvényhez, vagyis H₀ esetén F₀-hoz. H₁ esetén nagyobb értékek adódnak. A tesztstatisztika független az F₀ eloszlástól. Ha a tesztstatisztika értéke nagyobb mint ami a táblázatban meg van adva, a H₀ hipotézis valószínűleg nem teljesül, ezért elvetjük.

Egymintás próba

Legyen X a megfigyelt valószínűségi változó, és legyenek a megfigyeléseink x_i (i = 1,...,n)! Ezekből a megfigyelésekből számíthatjuk az S(x_i) relatív gyakoriságokat. Az így kapott tapasztalati eloszlást hasonlítjuk össze a feltételezett eloszlással, ami az egyes értékekre az F₀(x_i) értékeket adja. Ha X a feltételezett eloszlásból származik, akkor a két függvény értékeinek egymás közelében kell lenniük. Tehát kiszámítjuk a

$d_{oi}=|S(x_i)-F_0(x_i)|$

és a

$d_{ui}=|S(x_{i-1})-F_0(x_i)|$

abszolút különbséget minden i-re. Kiválasztjuk a d_max maximumot a két sorozat uniójából. Ha ez a d_max nagyobb, mint egy előre meghatározott d_α, akkor a nullhipotézist az α szinten elvetjük.

A kritikus értékeket az n=40 mintadarabszámig tabellázzák. Nagyobb mintákra a

${\text{d}}_{\alpha }=\frac{\sqrt{\ln \left(\frac{2}{\alpha }\right)}}{\sqrt{2n}}$

képletet használják.

A képlet ezeket a d_α értékeket adja a különböző konfidenciaintervallumokra:

α szignifikanciaszint	dα
20%	1,07/√n
10%	1,22/√n
5%	1.3581/√n
2%	1,52/√n
1%	1,6276/√n

Kétmintás próba

Kétmintás esetben a próbában az elméleti eloszlásfüggvényt a másik minta tapasztalati eloszlása helyettesíti:

$D_{n,n^{\prime }}=\underset{x}{\sup }|F_{1,n}(x)-F_{2,n^{\prime }}(x)|,$

ahol $F_{1,n}$ az első és $F_{2,n^{\prime }}$ a második minta tapasztalati eloszlása. A nullhipotézist $\alpha$ szinten elvetjük, ha

$\sqrt{\frac{n{n}^{\prime }}{n+n^{\prime }}}{D}_{n,n^{\prime }}>K_{\alpha }.$

A kétmintás próba működik akkor is, ha a minták elméleti eloszlása ismeretlen. Ez a próba a két eloszlást hasonlítja össze, hogy ugyanabból az elméleti eloszlásból származnak-e. A kritikus értékei szintén táblázatból olvashatók ki és a későbbi publikációk a Gumbel-eloszlással is foglalkoznak. A próba nem alkalmas az előtte-utána vett minták összehasonlítására.

Tulajdonságai

A Kolmogorov–Szmirnov-próba a χ²-próbával szemben kis elemszámú minták vizsgálatára is alkalmas.

Mint nem paraméteres próba nagyon stabil. Eredetileg folytonos eloszlásokra készült, de alkalmas diszkrét vagy rangskálázott értékek vizsgálatára is. Ekkor azonban ritkábban lehet elvetni a nullhipotézist, mint folytonos esetben.

Nagy előnye abban áll, hogy eloszlásfüggetlen, és nem csak normális eloszlásból származó statisztikák vizsgálatára alkalmas. A próbastatisztika minden folytonos eloszlásra ugyanazt az eloszlást követi, emiatt széles körben használható. Hátránya, hogy kicsi az ereje. A Lilliefors-próba a Kolmogorov–Szmirnov-próba egy erősebb változata csak normális eloszlásokra. Lehetséges alternatívái a Cramér–von Mises-teszt, ami egy és két mintás esetre is alkalmas, vagy az Anderson–Darling-próba csak az egymintás esetre.

Ha F(x) függ az X_i adatoktól, akkor az elméleti háttér által megadott módott generált kritikus értékek érvénytelenek. Néhány ilyen esetre készültek táblázatok, máskor azonban a Monte Carlo-módszert használják. Léteznek táblázatok normális, exponenciális, és Gumbel-eloszláshoz.

A Kolmogorov–Szmirnov-próba megfordítható F(x) konfidenciahatárainak megállapításához. Ha D_α a próbastatisztika kritikus értéke úgy, hogy P(D_n > D_α) = α, akkor az F₀(x) körüli ±D_α szélességű sáv 1 − α valószínűséggel tartalmazza a teljes F(x)-et.

Példa

A példa elméleti és tapasztalati eloszlásának összehasonlítása: balra a hisztogram a normális eloszlás sűrűségfüggvényével, jobbra az elméleti és a tapasztalati eloszlásfüggvény

Egy értékes parfümöket gyártó vállalatnál a minőségbiztosítás keretében ellenőrizték az egy flakonba jutóparfüm mennyiségét. A minta elemszáma n = 8, és a vizsgált mennyiség az egy flakonba töltött parfüm mennyisége milliliterben, amit a továbbiakban x jelöl. A várt eloszlás az $\mu =11$ és ${\sigma }^2=\sigma =1$ paraméterű normális eloszlás. Azt vizsgáljuk, hogy az eloszlás megfelel-e ennek. Tehát a nullhipotézis:

$H_0:F(x)=F_0(x)=\mathrm{\Phi }(x|11;1)$

ahol Φ a normális eloszlás jele. A vizsgálatot az α = 0,05 szignifikanciaszinten végezték.

A számított értékek:

i	xi	S(xi)	Fo(xi)	S(xi-1)-Fo(xi)	S(xi)-Fo(xi)
1	9,41	0,125	0,056	-0,056	0,069
2	9,92	0,250	0,140	-0,015	0,110
3	11,55	0,375	0,709	-0,459	-0,334
4	11,60	0,500	0,726	-0,351	-0,226
5	11,73	0,625	0,767	-0,267	-0,142
6	12,00	0,750	0,841	-0,216	-0,091
7	12,06	0,875	0,855	-0,105	0,020
8	13,02	1,000	0,978	-0,103	0,022

ahol x_i az i-edik megfigyelés, S(x_i) a számlálófüggvény értéke, és F₀(x_i) a normális eloszlásfüggvény értéke az x_i helyen. A többi oszlop a differenciákat mutatja. Az $n=8$ mintamérethez és az $\alpha =0,05$ szignifikanciaszinthez a 0,457 kritikus érték tartozik, tehát a Kolmogorov–Szmirnov-próba szerint a nullhipotézist elvetjük. Mivel azonban a 0,459 érték ehhez nagyon közeli, ezért nem olyan valószínűtlen, hogy a nullhipotézis nem igaz, de az alternatív hipotézis valószínűsége nagyobb. Ezért valószínűbb, hogy az eloszlás nem $\mu =11$ és ${\sigma }^2=\sigma =1$ paraméterű normális eloszlás, hanem vagy mások a paraméterei, vagy nem normális az eloszlás.

Elméleti háttere

A Kolmogorov-eloszlás a

$K=\underset{t\in [0,1]}{\sup }|B(t)|$

véletlen valószínűségi változó eloszlása, ahol B(t) a szimmetrikus bolyongás. K kumulatív eloszlása

$\mathrm{Pr}(K\le x)=1-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}{e}^{-2k^2{x}^2}=\frac{\sqrt{2\pi }}{x}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(2k-1{)}^2{\pi }^2/(8x^2)}.$

A Kolmogorov–Szmirnov-próba statisztikát és a hozzá tartozó aszimptotikus eloszlást Andrej Kolmogorov publikálta. Véges minták tesztstatisztikájának eloszlására rekurzív alakban is elérhető. A valószínűségek konkrét értékeit először Nyikolaj Vasziljevics Szmirnov publikálta, táblázatos formában.

A nullhipotézis teljesülése esetén

$\sqrt{n}{D}_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\underset{t}{\sup }|B(F(t))|$

ahol F(x) a nullhipotézisben megadott elméleti eloszlásfüggvény. Ha F folytonos, akkor $\sqrt{n}{D}_n$ a Kolmogorov-eloszláshoz tart, függetlenül F-től, ahogy a Kolmogorov-tétel állítja.

Az illeszkedés jóságát a kritikus érték adja meg. Az $\alpha$ szinten a nullhipotézist elvetjük, ha

$\sqrt{n}{D}_n>K_{\alpha },$

ahol K_α innen számítható:

$\mathrm{Pr}(K\le K_{\alpha })=1-\alpha .$

A teszt aszimptotikus ereje 1.

Magasabb dimenzióban

Magasabb dimenziókra a próbát módosítani kell, mivel a több dimenziós eloszlásfüggvények közötti különbség nem egyezik meg a komplementer eloszlásfüggvények különbségével. Így a maximális különbség függ attól, hogy például két változó esetén az $\mathrm{Pr}(x<X\wedge y<Y)$ vagy az $\mathrm{Pr}(X<x\wedge Y>y)$ vagy a fennmaradó két lehetőség egyikét használják-e. Egyedül azt követelik meg, hogy az eredmény független legyen ettől a választástól.

Egy másik megközelítésben a minták összes párosítását számításba veszik, és tekintik az így előállt Kolmogorov–Szmirnov-statisztikákat. d dimenzióban 2^d−1 ilyen független rendezés van. Az egyik változatot Peacock, egy másikat Fasano & Franceschini vezetett be. A kritikus értéket szimulációval állítják elő, az együttes eloszlás összefüggőségeit figyelembe véve.

Alkalmazásai

A próbát többek között használják:

• Véletlengenerátorok ellenőrzésére, hogy az általuk generált számok a megfelelő eloszlásúak-e, például egyenletes eloszlást követnek-e.
• Egyes statisztikai eljárások csak közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változókra használhatók, ezért fontos azt ellenőrizni, hogy az adott minta egy ilyen eloszlásból származik-e.

Források

• Bolla Marianna, Krámli András: Statisztikai következtetések elmélete 183. oldal
• Herneczky Andrea: Az agrár-felsőoktatás helyzete – jellemző tendenciál és kihívások (phd értekezés) – Szent István Egyetem, Gödöllő, 2011., 53. oldal
• Matematikai statisztika előadás survey statisztika MSc szakosoknak. 2009/2010 2. félév. – ELTE tananyag