Kobordizmus

A (W; M, N) kobordizmus

A kobordizmus a matematikában egy alapvető ekvivalenciareláció az azonos dimenziójú kompakt sokaságokon, ami a sokaságok határára utal. Két azonos dimenziójú kompakt sokaság kobordáns, ha van olyan eggyel magasabb dimenziójú sokaság, amit diszjunkt uniójuk határol.

Egy (n + 1) dimenziós W sokaság határa ∂W egy n dimenziós sokaság, ami zárt, vagyis határa az üres halmaz. Megfordítva azonban egy zárt sokaság nem szükségképpen határol egy magasabb dimenziós sokaságot. A kobordizmus elmélete azt is tanulmányozza, hogy milyen további feltételek jellemzik a határoló sokaságokat. Az elmélet eredetileg a sima sokaságokkal foglalkozott, de később kiterjedt a szakaszonként lineáris és a topologikus sokaságokra is.

Ha M és N kobordáns sokaságok, akkor kobordizmusuk egy W sokaság, aminek határa M és N diszjunkt uniója, azaz $\partial W=M\bigsqcup N$.

A kobordizmusokat úgy is tanulmányozzák, mint relációkat, és úgy is, mint sokaságokat. A kobordizmus durvábban osztályoz, mint a diffeomorfia és a homeomorfia; könnyebb vele számolni és bizonyításokat végezni. Legalább négy dimenzióban nem lehet osztályozni a sokaságokat homeomorfia és diffeomorfia szerint, ami a csoportelméleti szóprobléma megoldhatatlanságára vezethető vissza. Ez azonban nem jelent akadályt a kobordizmus számára, így kobordizmus erejéig ezekben a dimenziókban is osztályozhatók maradnak a sokaságok. A kobordizmusok központi objektumok a geometriai és az algebrai topológiában. A geometriai topológiában közvetlenül kapcsolódnak a Morse-elmélethez, és a h-kobordizmus alapvető a magasabb dimenziós sokaságok tanulmányozásában (lásd operációelmélet). Az algebrai topológiában a kobordizmus alapvető a rendkívüli kohomológiaelméletek között, és a kobordizmusok kategóriáit a topológiai kvantummező-elméletek tanulmányozzák.

Definíció

Sokaságok

Ha M egy n dimenziós sokaság, akkor lokálisan homeomorf az n dimenziós valós tér (${ℝ}^n$ ) egy darabjával. A határos sokaság egyes pontjaira megengedett, hogy olyan környezetük legyen, ami homeomorf az

$\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {ℝ}^n\mid x_n⩾0\}$ féltérrel.

Ezek a pontok a sokaság határpontjai.

Kobordizmusok

Egy (n + 1) dimenziós kobordizmus egy (W; M, N, i, j) ötös, ahol W egy (n + 1) dimenziós kompakt differenciálható határos sokaság, M, N zárt n-sokaságok, és i : M ⊂ ∂W, j : N ⊂ ∂W beágyazások. Ezeknek a beágyazásoknak a képei diszjunktak,

$\partial W=i(M)\bigsqcup j(N).$

Ezt általában rövidítve használják, formája (W; M, N). M és N kobordánsak, ha van ilyen kobordizmus. Egy adott M-mel kobordáns sokaságok M kobordizmusosztályát alkotják.

Minden zárt M sokaság határa a nem kompakt M × [0, 1) sokaságnak. Ezért megkövetelik, hogy a fenti W kobordizmus kompakt sokaság legyen. Jegyezzük meg azonban, hogy az összefüggőség nem követelmény; emiatt, ha M = ∂W₁ és N = ∂W₂, akkor M és N kobordánsak.

Példák

Kobordizmus egy kör (fent) és két kör között (lent)

A legegyszerűbb példa az I = [0, 1] egységintervallum. Ez egy dimenziós kobordizmus a {0}, {1} 0 dimenziós sokaságok között. Általában, minden zárt sokaságra M, (M × I; {0}, {1}) kobordizmus M × {0} és M × {1} között.

Ha M egy körből, N pedig két körből áll, akkor egy nadrág kobordizmus M és N között. Egy egyszerűbb kobordizmus három diszjunkt zárt körlemez.

A nadrág egy általánosabb elvet illusztrál: bármely M n dimenziós sokaságra az $M\bigsqcup M^{\prime }$ diszjunkt unió kobordáns az $M\mathrm{\#}{M}^{\prime }$ összefüggő összeggel. Ebből a fenti példa azzal kapható, hogy az ${𝕊}^1\mathrm{\#}{𝕊}^1$ összefüggő összeg izomorf ${𝕊}^1$-gyel. Az $M\mathrm{\#}{M}^{\prime }$ összefüggő összeg az $M\bigsqcup M^{\prime }$ diszjunkt unióból kapható operációval az ${𝕊}^0\times {𝔻}^n$ beágyazásán $M\bigsqcup M^{\prime }$-be. A kobordizmus az operáció nyoma.

Terminológia

Egy n-sokaság nullkobordáns, ha kobordáns az üres halmazzal, más szóval, ha egy n+1-sokaság határa. Például a kör nullkobordáns, mivel körlemezt határol, és hasonlóan, a magasabb dimenziós gömbfelületek is nullkobordánsak. Minden irányítható felület nullkobordáns, mert több összeragasztott tóruszból álló test határoló felülete. Viszont a 2n dimenziós ${\mathbb{P}}^{2n}(ℝ)$ valós projektív tér, habár kompakt és zárt, nem nullkobordáns, mert nem határol sokaságot.

Az általános kobordizmusprobléma a különféle feltételeknek eleget tevő sokaságok kobordizmusosztályainak megállapítását tűzi ki.

A nullkobordizmusok a kitöltő struktúrával együtt kitöltést alkotnak. Vannak szerzők, akik a bordizmust a kobordizmussal felcserélhetőnek tartják, míg mások megkülönböztetik őket. Ha valaki meg akarja különböztetni a sokaságot a relációtól, akkor a sokaság a kobordizmus, a reláció a bordizmus.

A kobordizmus szó a francia bord szóból ered, ami határt jelent. A ko- előtaggal együtt közösen határolót jelent, így M és N kobordáns, ha közösen határolnak egy sokaságot. Továbbá a kobordizmuscsoportok rendkívüli kohomológiaelméletet alkotnak, ami egy további kapcsolódási pont a ko- előtaghoz.

Változatok

A fenti definíció a legalapvetőbb változat, amire irányítatlan bordizmusként is utalnak. A sokaságok lehetnek irányítottak, vagy hordozhatnak további struktúrát is, például G-struktúrát. Eszerint értelmezhető az irányított kobordizmus és a G-struktúrák kobordizmusa. Megfelelő feltételek teljesülése esetén ezek gyűrűt alkotnak, az ${\mathrm{\Omega }}_{*}^G$ kobordizmusgyűrűt, ahol az összeadás a diszjunkt unió és a szorzás a Descartes-szorzat. Az ${\mathrm{\Omega }}_{*}^G$ kobordizmuscsoportok az általánosított homológiaelmélet együtthatócsoportjai.

Ha további struktúra is van, akkor azt a jelölésnek is tartalmaznia kell; W struktúrája M és N struktúrájának bővítése. A G = O irányítatlan kobordizmusra, G = SO irányított kobordizmusra, és G = U komplex kobordizmusra utal, ami stabil komplex sokaságokat használ. További részletekért lásd Stong könyvét.

Hasonlóan, az operációelméletben a normál leképezések operációja egy standard eszköz. Ezzel a normális leképezésből egy másik, ugyanahhoz a kobordizmusosztályhoz tartozó normális leképezést kapunk.

A vizsgált sokaságok típusa alapján is lehet különbséget tenni, így a differenciálható sokaságokon kívül vizsgálhatók szakaszonként lineáris vagy topologikus sokaságok is. Ezekből adódnak a ${\mathrm{\Omega }}_{*}^{PL}(X),{\mathrm{\Omega }}_{*}^{TOP}(X)$ kobordizmuscsoportok, amiket nehezebb számítani, mint a differenciálható sokaságokat.

Konstrukciók operációval

Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy ha X, Y határolt sokaság, akkor a szorzat sokaság határa ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪ (X × ∂Y).

Ha most adva van egy n = p + q dimenziós M sokaság, és a $\phi :{𝕊}^p\times {𝔻}^q\subset M,$ beágyazás, akkor definiáljuk az N n dimenziós sokaságot a következőképpen:

$N:=(M-\mathrm{int~im}\phi ){\cup }_{\phi {|}_{{𝕊}^p\times {𝕊}^{q-1}}}({𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1})$

ami operációkkal: kivágjuk ${𝕊}^p\times {𝔻}^q$ belsejét, és összeragasztjuk az ${𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1}$ -nek a határuk mentén

$\partial ({𝕊}^p\times {𝔻}^q)={𝕊}^p\times {𝕊}^{q-1}=\partial ({𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1}).$

Az operáció nyoma

$W:=(M\times I){\cup }_{{𝕊}^p\times {𝔻}^q\times \{1\}}({𝔻}^{p+1}\times {𝔻}^q)$

egy elemi (W; M, N) kobordizmust definiál. Jegyezzük meg, hogy M az N-ből a ${𝔻}^{p+1}\times {𝕊}^{q-1}\subset N.$ sokaságon végzett operációval kapható. Ezt az operáció megfordításának nevezzük.

Minden kobordizmus elemi kobordizmusok uniója, ahogy azt Morse, Thom és Milnor megmutatta.

Példák az operációra

1. ábra

A fenti definíció alapján egy körön végzett operáció az ${𝕊}^0\times {𝔻}^1$ egy másolatának kivágásából és a ${𝔻}^1\times {𝕊}^0.$ sokaságba való ragasztásból áll. Ahogy az 1. ábra mutatja, vagy egy ${𝕊}^1$, vagy két ${𝕊}^1$ az eredmény.

2a. ábra

2b. ábra

A 2-gömbön végzett operációra több lehetőség is adódik, mivel kivághatunk egy ${𝕊}^0\times {𝔻}^2$ sokaságot vagy egy ${𝕊}^1\times {𝔻}^1$ sokaságot.

• (a) ${𝕊}^1\times {𝔻}^1$: A henger eltávolításával a gömbből két körlemez marad vissza. Ezeket odaragasztjuk ${𝕊}^0\times {𝔻}^2$-hez, aminek az eredménye két diszjunkt gömb. (2a. ábra)

2c. ábra. Ez az alakzat nem ágyazható be a három dimenziós térbe

• (b)${𝕊}^0\times {𝔻}^2$: A két ${𝕊}^0\times {𝔻}^2,$ körlemez kivágásával az ${𝕊}^1\times {𝔻}^1$ hengerbe ragasztunk vissza. A ragasztó leképezés irányától függően két eredmény lehetséges. Ha a leképezés iránya megegyezik a határkörök irányításával, akkor egy ${𝕊}^1\times {𝕊}^1$ tóruszt kapunk. Ha különbözik, akkor az eredmény egy Klein-palack (2c. ábra).

Morse-függvények

Tegyük fel, hogy f Morse-függvény egy (n + 1) dimenziós sokaságon, és hogy c kritikus érték, aminek ősképe egy elemű. Ha ennek a pontnak az indexe p + 1, akkor az N := f⁻¹(c + ε) szinthalmaz megkapható az M := f⁻¹(c − ε) sokaságból p-operációval. A W := f⁻¹([c − ε, c + ε]) inverz kép egy (W; M, N) kobordizmust definiál, ami azonosítható az operáció nyomával.

Adott (W; M, N) kobordizmushoz van egy f : W → [0, 1] sima függvény úgy, hogy f⁻¹(0) = M, f⁻¹(1) = N. Általános helyzetben feltehető, hogy f Morse, így minden kritikus pontja W belsejébe esik. Ekkor f a kobordizmus Morse-függvénye. A (W; M, N) kobordizmus az M-en végzett operációsorozatok nyomainak uniója, és f minden egyes kritikus pontjához tartozik egy. A W sokaság M × [0, 1]-ből kapható, ha annyi fület (handle) teszünk rá, ahány kritikus pontja van f-nek.

A Morse/Smale-tétel szerint egy kobordizmus f Morse-függvényének folyamvonalai a (W; M, N) fülfelbontását adják. Megfordítva, ha ismert egy kobordizmus fülfelbontása, akkor az egy alkalmas Morse-függvényből származtatható. Megfelelően normalizált körülmények között ez egy-egyértelmű megfeleltetést ad a kobordizmus Morse-függvényei és fülfelbontásai között.

Kategóriaelméleti aspektusok

A kobordizmusok saját jogukon tanulmányozható objektumok, eltekintve a kobordizmusosztályoktól. A kobordizmusok kategóriát alkotnak, aminek objektumai a zárt sokaságok és morfizmusai a kobordizmusok. A kompozíció a bordizmusok összeragasztása határuknál; az (W; M, N) és (W′; N, P) összeragasztása azonosítja az első bordizmus jobb határát a második bordizmus bal határával. A kobordizmus a kospan egy fajtája: M → W ← N, de a kobordizmusok kategóriája nem a kospan kategória, csak annak egy alkategóriája. Az viszont igaz, hogy tőrkompakt kategória.

Egy topológiai kvantummező-elmélet monoideális funktor a kobordizmusok kategóriájából a vektorterek kategóriájába. Azaz ez egy funktor, aminek értéke sokaságok diszjunkt unióján ekvivalens a tagokon felvett értékeinek tenzorszorzatával.

Alacsony dimenzióban a bordizmus kérdése triviálisan megválaszolható, de a kobordizmusok kategóriája továbbra is érdekes. Például a körvonalhoz ragasztott körlap megfelel egy nulláris műveletnek, míg a henger egy unáris műveletnek, a nadrág pedig egy bináris műveletnek feleltethető meg.

Irányítatlan kobordizmus

Az n dimenziós irányítatlan és zárt sokaságok kobordizmusainak halmazát ${𝔑}_n$ jelöli. A diszjunkt unióval ellátva Abel-csoportot alkot. Speciálisan, ha [M] és [N] rendre az M és N kobordizmusosztályait jelöli, akkor $[M]+[N]=[M\bigsqcup N]$. Ez egy jóldefiniált művelet. Az egységelem, illetve additív jelölés miatt nullelem az $[\mathrm{\varnothing }]$ osztály, ami azokat a sokaságokat tartalmazza, amelyek önmagukban egy sokaságot határolnak. Továbbá minden M sokaságra teljesül, hogy $[M]+[M]=[\mathrm{\varnothing }]$, mivel $M\bigsqcup M=\partial (M\times [0,1])$. Ezzel ${𝔑}_n$ vektortér az ${𝔽}_2$ két elemű test fölött. A sokaságok Descartes-szorzata egy $[M][N]=[M\times N]$ szorzást definiál, így

${𝔑}_{*}=\sum _{n⩾0}{𝔑}_n$

fokozatos algebra, ahol a fokozatok a dimenziók.

Az $[M]\in {𝔑}_n$ kobordizmusosztályt meghatározza az n dimenziós M sokaság Stiefel–Whitney-féle karakterisztikus száma, ami az érintő bundle stabil izomorfizmusosztályaitól függ. Ezért, ha M-nek van stabil triviális érintő bundle-ja, akkor $[M]=0\in {𝔑}_n$. 1954-ben René Thom bizonyította, hogy

${𝔑}_{*}={𝔽}_2[x_i|i⩾1,i\ne 2^j-1]$

az $x_i$ generátoros polinomalgebra minden $i\ne 2^j-1$ dimenzióban. Emiatt két n dimenziós sokaság, N és M kobordáns, $[M]=[N]\in {𝔑}_n,$ akkor és csak akkor, ha az $i⩾1,i\ne 2^j-1$ egészek minden $(i_1,\cdots ,i_k)$ k-asára, ahol $i_1+\cdots +i_k=n$ a

$⟨w_{i_1}(M)\cdots w_{i_k}(M),[M]⟩=⟨w_{i_1}(N)\cdots w_{i_k}(N),[N]⟩\in {𝔽}_2$

Stiefel-Whitney-számok, ahol $w_i(M)\in H^i(M;{𝔽}_2)$ az i-edik Stiefel-Whitney-osztály, és $[M]\in H_n(M;{𝔽}_2)$ az ${𝔽}_2$-együttható fundamentális osztály.

Páros i esetén választhatjuk, hogy $x_i=[{\mathbb{P}}^i(ℝ)]$, ami az i dimenziós projektív tér osztálya.

Az alacsony dimenziós irányítatlan kobordizmuscsoportok:

$\begin{array}{cc}{𝔑}_0& =\mathbb{Z}/2,\\ {𝔑}_1& =0,\\ {𝔑}_2& =\mathbb{Z}/2,\\ {𝔑}_3& =0,\\ {𝔑}_4& =\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2,\\ {𝔑}_5& =\mathbb{Z}/2.\end{array}$

Ez mutatja, hogy például az irányítatlan három dimenziós zárt sokaságok határolt négy dimenziós sokaságot határolnak.

Az M irányítatlan sokaság $\chi (M)\in \mathbb{Z}$ Euler-karakterisztikája irányítatlan kobordizmusinvariáns. Ez következik az alábbi egyenletből:

${\chi }_{\partial W}=(1-(-1{)}^{\dim W}){\chi }_W$

minden kompakt sokaságra, aminek határa $W$.

Innen $\chi :{𝔑}_i\to \mathbb{Z}/2$ jóldefiniált csoporthomomorfizmus. Például minden $i_1,\cdots ,i_k\in \mathbb{N}$-ra:

$\chi ({\mathbb{P}}^{2i_1}(ℝ)\times \dots \times {\mathbb{P}}^{2i_k}(ℝ))=1.$

Például a valós topologikus terek szorzata nem nullkobordáns. A mod 2 Euler-karakterisztika leképezés $\chi :{𝔑}_{2i}\to \mathbb{Z}/2$ minden $i\in \mathbb{N},$-re, és csoportizomorfizmus, ha $i=1.$

Továbbá, mivel $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$, ezek a csoporthomomorfiák együtt kiadják fokozatos algebrák homomorfiáját:

$\{\begin{array}{c}𝔑\to {𝔽}_2[x]\\ [M]\mapsto \chi (M)x^{\dim (M)}\end{array}$

További szerkezettel ellátott sokaságok kobordizmusa

A kobordizmus azokra a sokaságokra is definiálható, amelyek további szerkezettel is bírnak, például irányítottak. Ezt formálisan X-szerkezettel, más néven G-szerkezettel definiálják. Röviden, az M egy immerziójának egy ν normális bundle-ja egy elég nagy dimenziójú ${ℝ}^{n+k}$ euklidészi térbe leképezést ad M-ről a Grassmannianba, ami az ortogonális csoport klasszifikáló terének altere: ν: M → Gr(n, n + k) → BO(k).

Terek és leképezések X_k → X_k+1 leképezésekkel adott halmaza,

ha kompatibilis az X_k → BO(k) az BO(k) → BO(k+1) inklúziókkal, :akkor egy X-struktúra a ν felemelése egy $\tilde{\nu }:M\to X_k$ leképezéssé.

Csak az adott X-struktúrájú sokaságokat és kobordizmusokat tekintve a kobordizmus egy általánosabb jelentéséhez jutunk. Például X_k lehet BG(k), ahol G(k) → O(k) egy csoporthomomorfizmus. Erre G-struktúraként hivatkoznak. Egy további példa az G = O, ahol O az ortogonális csoport, ami az irányítatlan kobordizmust adja vissza. Az SO(k) csoport, ami az irányított sokaságokat jellemzi. Lehet az U(k) unitér csoport, a spincsoport, vagy a triviális csoport, ami a keretes kobordizmust eredményezi.

Magát a kobordizmust az irányítatlan esethez hasonlóan definiálják, és jelölésük ${\mathrm{\Omega }}_{*}^G$.

Irányított kobordizmus

Az irányított kobordizmus az irányított sokaságokra vonatkozik, ami a sokaságok esetén SO-struktúrát jelent. A (W, M, N) kobordizmus határa $M\bigsqcup (-N)$, ahol a - előjel az irányítás megfordítását jelenti. Például, az M × I henger határa $M\bigsqcup (-M)$; a két határvonal irányítása ellentétes. Ez megfelel a rendkívüli kohomológiaelmélet definíciójának is.

Ellentétben az irányítatlan esettel, 2M általában nem irányított sokaság, így 2[M] ≠ 0 az ${\mathrm{\Omega }}_{*}^{\text{SO}}$ eleme.

Az irányítatlan kobordizmuscsoportot modulo torzió megadja a következő:

${\mathrm{\Omega }}_{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[y_{4i}|i⩾1],$

az irányított kobordizmusosztályok által generált polinomalgebra

$y_{4i}=[{\mathbb{P}}^{2i}(ℂ)]\in {\mathrm{\Omega }}_{4i}^{\text{SO}}$

a komplex projektív tereket jellemzi. (Thom, 1952) Az ${\mathrm{\Omega }}_{*}^{\text{SO}}$ irányított kobordizmuscsoportot a Stiefel–Whitney és Pontrjagin karakterisztikus számok határozzák meg. (Wall, 1960) Két irányított sokaság akkor és csak akkor irányított kobordáns, ha Stiefel–Whitney és Pontrjagin-számaik is egyenlőek.

Az alacsony dimenziós irányított kobordizmuscsoportok:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Omega }}_0^{\text{SO}}& =\mathbb{Z},\\ {\mathrm{\Omega }}_1^{\text{SO}}& =0,\\ {\mathrm{\Omega }}_2^{\text{SO}}& =0,\\ {\mathrm{\Omega }}_3^{\text{SO}}& =0,\\ {\mathrm{\Omega }}_4^{\text{SO}}& =\mathbb{Z},\\ {\mathrm{\Omega }}_5^{\text{SO}}& ={\mathbb{Z}}_2.\end{array}$

Egy irányított 4i dimenziós M sokaság szignatúrája definiálható, mint a $H^{2i}(M)\in \mathbb{Z}$ alakú metszet szignatúrája, és $\sigma (M)$ jelöli. Ez egy irányított kobordizmusinvariáns, ami kifejezhető a Pontrjagin-számokkal Hirzebruch szignatúratétele szerint.

Például, minden i₁, ..., i_k ≥ 1 indexre

$\sigma ({\mathbb{P}}^{2i_1}(ℂ)\times \cdots \times {\mathbb{P}}^{2i_k}(ℂ))=1.$

A $\sigma :{\mathrm{\Omega }}_{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb{Z}$ szignatúraleképezés i ≥ 1 esetén a teljes kiindulási halmazott értelmezett beleképezés, ami i = 1 esetén izomorfizmus.

A kobordizmus mint rendkívüli kohomológiaelmélet

Minden vektorbundleelméletnek (valós, komplex, …) van rendkívüli kohomológiaelmélete, amit K-elméletnek hívnak. Hasonlóan, minden Ω^G kobordizmusnak van rendkívüli kohomológiaelmélete, aminek homológiacsoportja az ${\mathrm{\Omega }}_n^G(X)$ bordizmusok, és kohomológiacsoportjai az ${\mathrm{\Omega }}_G^n(X)$ csoportok minden X térre. Az ${\mathrm{\Omega }}_{*}^G(X)$ általánosított kohomológiacsoportok kovariánsak X-ben, és az ${\mathrm{\Omega }}_G^{*}(X)$ általánosított kohomológiacsoportok kontravariánsak X-ben. Eszerint a nézőpont szerint a fent definiált bordizmuscsoportok egy pont homológiacsoportjai: ${\mathrm{\Omega }}_n^G={\mathrm{\Omega }}_n^G(\text{pt})$. Ekkor ${\mathrm{\Omega }}_n^G(X)$ az (M, f) bordizmusosztályainak csoportja, ahol M zárt n dimenziós sokaság G-struktúrával, és f : M → X egy leképezés. Az (M, f), (N, g) párok bordánsak, ha van (W; M, N) G-kobordizmus, hogy van h : W → X leképezés, aminek leszűkítése M-re f, és N-re g.

Ha M egy n dimenziós sokaság, akkor fundamentális homológiaosztálya [M] ∈ H_n(M), aminek együtthatói általános esetben $\mathbb{Z}/2$ elemei, és $\mathbb{Z}$ elemei az irányított esetben. Ez definiálja a természetes

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Omega }}_n^G(X)\to H_n(X)\\ (M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{array}$

transzformációt, ami általában izomorfizmus.

Egy tér bordizmus- és kobordizmuselméletei eleget tesznek az Eilenberg–Steenrod-axiómáknak, kivéve a dimenzióaxiómát. Ez nem jelenti azt, hogy a ${\mathrm{\Omega }}_G^n(X)$ csoportok hatékonyan kiszámíthatók, ha ismerjük egy pont kobordizmuselméletét és az X tér homológiáját, habár az [Atiyah–Hirzebruch-spektrálsorozat kiindulási pontot ad a számításokhoz. A számolás csak akkor egyszerű, ha a szóban forgó kobordizmuselmélet közönséges homológiaelméletek szorzata. Ekkor a bordizmuscsoportok éppen az

${\mathrm{\Omega }}_n^G(X)=\sum _{p+q=n}{H}_p(X;{\mathrm{\Omega }}_q^G(\text{pt})).$

közönséges homológiacsoportok. Ez azonban csak az irányítatlan kobordizmusokra igaz; a többi eset általában nem redukálható közönséges homológiára ezen a módon, így a keretes kobordizmus, az irányított és a komplex kobordizmus sem. A komplex kobordizmus az algebrai topológia hasznos számítási eszköze, például gömbök homotópiacsoportjai.

A kobordizmuselméletet a Thom-spektrális MG reprezentálja: adott G csoport esetén a Thom-spektrum a BG_n klasszifikáló terek fölötti standard vektorbundle-k MG_n Thom-tereiből áll. Meg kell jegyeznünk, hogy a Thom-spektrumok hasonló csoportok esetén is nagyon különböznek; MSO és MO nagyon különböznek, tükrözve az irányított és az irányítatlan kobordizmus különbségét.

A spektrumok szempontjából az irányítatlan kobordizmus az Eilenberg–MacLane-spektrumok szorzata: MO = H(π_∗(MO)), míg az irányított kobordizmus az Eilenberg–MacLane-spektrumok szorzata racionálisan és a kettőnél, de nem a páratlan prímeknél. Az irányított MSO spektrum jóval összetettebb, mint a nem irányított MO spektrum.

Fordítás

• Sablon:Fordítás