Kettősviszony

A kettősviszony egy egyenes (pontsor) négy pontjára, illetve egy sugársor négy elemének kölcsönös elhelyezkedésére jellemző viszonyszám. A projektív geometria fontos alapfogalma: centrális vetítéskor a távolságok és a szögek változnak, a kettősviszony megmarad (invariáns). Ezt Papposz egyik fontos tétele biztosítja.

Értelmezése

Az $A,B,C,D$ pontnégyes $(ABCD)$ kettősviszonya az $(ABC)$ és $(ABD)$ egyszerű- vagy osztóviszonyok hányadosa (viszonya):

• ($ABCD)=(ABC):(ABD)$

A három pont viszonylagos helyzetét jellemző osztóviszonyt szakaszok hányadosa definiálja:

• $(ABC)=\frac{AC}{CB}$ ,
• $(ABD)=\frac{AD}{DB}$ .

A pontnégyes és a sugárnégyes kettősviszonya:

• $(ABCD)=\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}$ ,

• $(abcd)=\frac{\sin ac}{\sin cb}:\frac{\sin ad}{\sin db}$ .

A formulákban szereplő szakaszok és szögek irányítottak, előjelesek.

Néhány példa az osztóviszonyra:

$(ABF)=3:3=1$ (felezőpont),

$(ABG)=2:4=0,5$ (harmadoló pont, A-hoz közelebbi),

$(ABH)=4:2=2$ (harmadoló pont, B-hez közelebbi),

$(ABM)=(-2):8=-0,25$

$(ABN)=8:(-2)=-4$

$(ABB)=6:0=+\mathrm{\infty }$

$(AAB)=6:(-6)=-1$

$(ABA)=0:6=0$

Néhány példa a kettősviszonyra:

$(ABFG)=1:0,5=2$

$(ABGH)=0,5:2=0,25$

$(ABGN)=0,5:(-4)=-0,125$

$(ABFN)=1:(-4)=-0,25$

$(ABHN)=2:(-4)=-0,5$

$(ABNH)=-4:2=-2$.

Harmonikus négyes

Különös fontosságú az olyan pontnégyes, amelynek kettősviszonya $(ABXY)=-1$. Ez csak úgy lehet, hogy X és Y közül az egyik pont az AB szakaszon, másik azon kívül helyezkedik el, s az osztóviszonyokra pedig teljesül: $(ABX)=-(ABY).$

Papposz tétele

Ha az egy pontra illeszkedö $a,b,c,d$ egyenesek egy, a közös pontjukra nem illeszkedő egyenest rendre az $A,B,C,D$ pontokban metszenek, akkor $(ABCD)=(abcd).$

A tétel egyszerű következménye, hogy ha két egyenest metsz a sugársor, akkor az egyik egyenesen a metszéspontok kettősviszonya a másik egyeneseken keletkező vetületüknek a kettősviszonyával egyezik: $(ABCD)=(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }).$

Hasonló összefüggés igazolható a közös egyenesre illeszkedő sugársorok négyeseire: $(abcd)=(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })$.

Irodalom

• Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.