Kúpkoordináták

A kúpkoordináták koordinátafelületei. A bés cparaméterek értéke rendre 1, illetve 2. A piros gömb az r = 2 értékhez tartozik; a kék elliptikus kúp, melynek tengelye a z-tengely, az μ=cosh(1) értéket reprezentálja; illetve az x-tengelyű sárga elliptikus kúp megfelel a ν² = 2/3 értéknek. A három felület közös metszéspontja a P pont (fekete gömbként), aminek Descartes-koordinátái megközelítőleg (1,26; -0,78; 1,34). Az elliptikus kúpok a gömböt gömbi kúpszeletekben metszik

A kúpkoordináták egy ortogonális háromdimenziós koordináta-rendszert alkotnak, melynek koordinátafelületei origó középpontú gömbök, illetve elliptikus kúpok két, egymásra merőleges családja. Egy kúp és egy gömb metszete gömbi kúpszelet. A kúpkoordináták a polárkoordináta-rendszer egyik térbeli általánosítása.

Alap definíciók

Legyenek egy pont Descartes-koordinátái $(x,y,z)$, és adva legyenek a $b,c$ paraméterek, ahol $0<b$ és $0<c.$ Ekkor az $(r,\mu ,\nu )$ kúpkoordináták definiálhatók, mint:

$x=\frac{r\mu \nu }{bc}$

$y=\frac{r}{b}\sqrt{\frac{({\mu }^2-b^2)({\nu }^2-b^2)}{(b^2-c^2)}}$

$z=\frac{r}{c}\sqrt{\frac{({\mu }^2-c^2)({\nu }^2-c^2)}{(c^2-b^2)}}$

A koordinátákra ezeket a megkötéseket szokták tenni:

${\nu }^2<c^2<{\mu }^2<b^2.$

A konstans $r$-hez tartozó felületek origó középpontú gömbök:

$x^2+y^2+z^2=r^2,$

míg a többi koordinátához tartozó koordinátafelületek végtelen elliptikus kúpok:

$\frac{x^2}{{\mu }^2}+\frac{y^2}{{\mu }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\mu }^2-c^2}=0$

és

$\frac{x^2}{{\nu }^2}+\frac{y^2}{{\nu }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\nu }^2-c^2}=0.$

Ebben a koordináta-rendszerben Laplace egyenlete és a Helmholtz-egyenlet is szétválasztható.

Skálázási tényezők

Az $r$-hez tartozó skálázási tényező h_r = 1, mint a gömbkoordinátáknál. A többi koordináta skálázási tényezői:

$h_{\mu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\mu }^2)({\mu }^2-c^2)}}$

és

$h_{\nu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\nu }^2)(c^2-{\nu }^2)}}.$

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book