Jung-tétel

A geometria területén a Jung-tétel bármely euklideszi tér egy ponthalmazának átmérője és a ponthalmazt magában foglaló legkisebb gömb sugara közötti egyenlőtlenség. Heinrich Jungról nevezték el, aki 1901-ben elsőként tanulmányozta.

Állítás

Tekintsünk egy kompakt halmazt:

$K\subset {ℝ}^n$

és legyen

$d=\max {\mathrm{\backslash nolimits}}_{p,q\in K}\Vert p-q{\Vert }_2$

a K átmérője, azaz a bármely két pont közötti legnagyobb mért euklideszi távolság. A Jung-tétel állítása szerint létezik olyan zárt gömb(test), melynek sugara

$r\le d\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}},$

és tartalmazza K-t. Az egyenlőség a szabályos n-szimplex esetében áll fenn.

Jung-tétel a síkban

A leggyakrabban említett eset a Jung-tétel a síkban, tehát amikor n = 2. Ebben az esetben a tétel azt állítja, hogy a síkban bármely d átmérőjű véges ponthalmaz lefedhető egy körlemezzel, melynek sugara:

$r\le \frac{d}{\sqrt{3}}.$

Nem létezik élesebb korlát az r-re: ha a ponthalmaz egy szabályos háromszög (illetve annak csúcsai), akkor

$r=\frac{d}{\sqrt{3}}.$

Általános metrikus terek

Bármely metrikus tér tetszőleges korlátos S ponthalmazára igaz, hogy d/2 ≤ r ≤ d. Az első egyenlőtlenség a gömb középpontja és valamely átmérő két pontja közötti háromszög-egyenlőtlenségből adódik, a második pedig abból, hogy egy d sugarú gömb(test), melynek középpontja S bármely pontjában van, tartalmazni fogja a teljes S halmazt. Egy uniform metrikus térben, melyben minden távolság egyenlő, r = d. A spektrum másik végén, az olyan injektív metrikus terekben, mint amilyen a síkbeli Manhattan-távolság, r = d/2: bármely két, d/2 sugarú gömbnek, melynek S valamely pontjában van a középpontja, létezik nem üres metszete, és ennek a metszetnek valamely pontját középpontnak választva egy d/2 sugarú gömb(test) tartalmazza S összes pontját. A Jung-tételnek különböző nemeuklideszi geometriákra léteznek változatai (lásd pl. Dekster 1995, 1997).

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite book

További információk

• Sablon:Mathworld