Jacobi–Anger-azonosság

A matematikában a Jacobi–Anger-azonosság (más néven Jacobi–Anger-kiterjesztés) a trigonometrikus függvények exponenciálisainak kiterjesztése a harmonikusaikra alapozva.

Ez a kiterjesztés hasznos lehet a fizikában (például síkhullámok és hengerhullámok konvertálásakor) és a jelfeldolgozás területén (FM-jelek leírása).

Az azonosságot két 19. századi matematikus, Carl Jacobi és Carl Theodor Anger után nevezték el.

Az azonosság legáltalánosabb alakja:

$e^{iz\cos \theta }=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{J}_n(z)e^{in\theta }$

és

$e^{iz\sin \theta }=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_n(z)e^{in\theta },$

ahol $J_n(z)$ az n. Bessel-függvény. Felhasználva a $J_{-n}(z)=(-1{)}^n{J}_n(z)$ összefüggést, n egész számra érvényes módon, kapjuk:

$e^{iz\cos \theta }=J_0(z)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{J}_n(z)\cos (n\theta ).$

A következő valós értékű változatok is hasznosak lehetnek:

$\begin{array}{cc}\cos (z\cos \theta )& =J_0(z)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{J}_{2n}(z)\cos (2n\theta ),\\ \sin (z\cos \theta )& =-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{J}_{2n-1}(z)\cos \left[(2n-1)\theta \right],\\ \cos (z\sin \theta )& =J_0(z)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2n}(z)\cos (2n\theta ),\\ \sin (z\sin \theta )& =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2n-1}(z)\sin \left[(2n-1)\theta \right].\end{array}$

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Trigonometria
• Hullámtan
• Exponenciális függvény

Jegyzetek

• Angolul röviden