Hippokratész holdacskái

Hippokratész holdacskái

Holdacskák négyszögeknél

Hippokratész holdacskái egy derékszögű háromszöghöz hozzárendelt két síkidom. A síkidomokat úgy kapjuk, hogy a derékszögű háromszög két befogója fölé rajzolt félkörből kivonjuk az átfogó fölé rajzolt – a háromszöget tartalmazó – félkör (avagy a háromszög köré írható kör) és a befogó fölötti félkörök metszetét.

A két holdacska területének összege egyenlő a derékszögű háromszög területével.

Az állítás a Pitagorasz-tétel alapján bizonyítható:

A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): $a^2+b^2=c^2$.

A félkörök területe:

$a^2\pi /8$

$b^2\pi /8$

$c^2\pi /8$

Ezt az eredeti egyenletbe belehelyettesítve: $(a^2\pi /8)+(b^2\pi /8)=c^2\pi /8$

Az egyenletet 8-cal szorozva:

$(a^2\pi )+(b^2\pi )=c^2\pi$

Az egyenletet PI-vel osztva:

$a^2+b^2=c^2$

Ezzel bizonyítottuk, hogy az az állítás miszerint derékszögű háromszög befogóira emelt félkörök területének összege azonos az átfogóra emelt félkör területével egyenértékű azzal az állítással, hogy a tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével, ami a Pitagorasz-tétel.

Az átfogóra emelt félkör területe a háromszög területének levonása után (a $(a^2\pi /8)+(b^2\pi /8)=c^2\pi /8$ egyenlőséget kihasználva):

$(a^2\pi /8)+(b^2\pi /8)-t_{\mathrm{\Delta }}$ ahol $t_{\mathrm{\Delta }}$ a háromszög területe.

A rajzról leolvasható, hogy a fekete félholdak területe:

$(a^2\pi /8)+(b^2\pi /8)-((a^2\pi /8)+(b^2\pi /8)-t_{\mathrm{\Delta }})=t_{\mathrm{\Delta }}$

A tételt a matematikus Khioszi Hippokratész állította fel. Névrokona Hippokratész, a kószi orvosi iskola vezetője volt.

Hasonlóképpen értelmezhetők a holdacskák húrnégyszögek esetén is.

Források

• Hippokratész holdacskái, Matematikai kislexikon, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1972