Hermite–Hadamard-egyenlőtlenség

Sablon:Lektor Sablon:Forma A matematikai analízis nevezetes Hermite–Hadamard-egyenlőtlensége Charles Hermite és Jacques Hadamard matematikusokról kapta nevét. Az egyenlőtlenség azt állítja, hogy amennyiben ƒ : [a, b] → R konvex függvény, akkor

$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Geometriailag az egyenlőtlenség azt állítja, hogy a konvex f függvény [a,b] intervallumon számított integrálja (vagyis az f grafikonja alatti terület) nagyobb vagy egyenlő, mint a b-a és f((a+b)/2) méretekkel rendelkező téglalap területe, valamint kisebb vagy egyenlő az (a,0);(a,f(a));(b,f(b));(b,0) csúcsokkal rendelkező trapéz területénél. Az egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha f lineáris függvény. A fenti egyenlőtlenség ekvivalens f Jensen konvexitásával.

Az egyenlőtlenség jobb oldalának egyik legtermészetesebb általánosítása Retkes Zoltán nevéhez fűződik. Ahhoz, hogy az általános eredményt meg tudjuk fogalmazni, be kell vezetni az f iterált integráljainak fogalmát. Valójában ez a fogalom a deriválás negatív egész kitevőjű kiterjesztése. Az antiderivált kifejezés így nyer értelmet.

Az iterált integrálok sorozata

Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, és legyen f:[a,b]→ℝ integrálható valós függvény [a,b]-n. A fenti feltételek mellett az f iterált integráljainak sorozatát a következőképp definiáljuk az a≤s≤b értékekre:

$F^{(0)}(s):=f(s),$

$F^{(1)}(s):=\underset{a}{\overset{s}{\int }}{F}^{(0)}(u)du=\underset{a}{\overset{s}{\int }}f(u)du,$

$F^{(2)}(s):=\underset{a}{\overset{s}{\int }}{F}^{(1)}(u)du=\underset{a}{\overset{s}{\int }}(\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(u)du)dt,$

$⋮$

$F^{(n)}(s):=\underset{a}{\overset{s}{\int }}{F}^{(n-1)}(u)du,$

$⋮$

Példa 1

Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)≡1. Ekkor a konstans 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és

$F^{(0)}(s)=1,$

$F^{(1)}(s)=\underset{0}{\overset{s}{\int }}{F}^{(0)}(u)du=\underset{0}{\overset{s}{\int }}1du=s,$

$F^{(2)}(s)=\underset{0}{\overset{s}{\int }}{F}^{(1)}(u)du=\underset{0}{\overset{s}{\int }}udu=\frac{s^2}{2},$

$⋮$

$F^{(n)}(s):=\underset{0}{\overset{s}{\int }}\frac{u^{n-1}}{(n-1)!}du=\frac{s^n}{n!},$

$⋮$

Példa 2

Legyen [a,b]=[-1,1] és f(s)≡1. Ekkor az 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [-1,1]-en, és

$F^{(0)}(s)=1,$

$F^{(1)}(s)=\underset{-1}{\overset{s}{\int }}{F}^{(0)}(u)du=\underset{-1}{\overset{s}{\int }}1du=s+1,$

$F^{(2)}(s)=\underset{-1}{\overset{s}{\int }}{F}^{(1)}(u)du=\underset{-1}{\overset{s}{\int }}(u+1)du=\frac{s^2}{2!}+\frac{s}{1!}+\frac{1}{2!}=\frac{(s+1{)}^2}{2!},$

$⋮$

$F^{(n)}(s)=\frac{s^n}{n!}+\frac{s^{(n-1)}}{(n-1)!1!}+\frac{s^{(n-2)}}{(n-2)!2!}+\dots +\frac{1}{n!}=\frac{(s+1{)}^n}{n!},$

$⋮$

Példa 3

Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)=e^s. Ekkor az f függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és

$F^{(0)}(s)=e^s,$

$F^{(1)}(s)=\underset{0}{\overset{s}{\int }}{F}^{(0)}(u)du=\underset{0}{\overset{s}{\int }}{e}^{u}du=e^s-1,$

$F^{(2)}(s)=\underset{0}{\overset{s}{\int }}{F}^{(1)}(u)du=\underset{0}{\overset{s}{\int }}(e^u-1)du=e^s-s-1,$

$⋮$

$F^{(n)}(s)=e^s-\sum _{i=0}^{n-1}\frac{s^i}{i!}$

$⋮$

Tétel (Retkes-egyenlőtlenség)

Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, legyen f:[a,b]→R konvex függvény, a<x_i<b, i=1,...,n olyanok, hogy x_i≠x_j, ha i≠j. Ekkor a következő egyenlőtlenség áll fenn:

$\sum _{i=1}^n\frac{F^{(n-1)}(x_i)}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,...,x_n)}\le \frac{1}{n!}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)$

ahol

${\mathrm{\Pi }}_i(x_1,...,x_n):=(x_i-x_1)(x_i-x_2)...(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})...(x_i-x_n),i=1,...,n.$

A konkáv esetben ≤ helyett ≥ érvényes.

Megjegyzés 1. Ha f szigorúan konvex, akkor ≤ helyett < érvényes, valamint egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f lineáris.

Megjegyzés 2. Az egyenlőtlenség a következő értelemben éles: legyenek $\underset{\_}{x}=(x_1,\dots ,x_n),\alpha =(\alpha ,\dots ,\alpha )$ és $a<\alpha <b.$

Ekkor a bal oldal határértéke létezik és

$\underset{\underset{\_}{x}\to \underset{\_}{\alpha }}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{F^{(n-1)}(x_i)}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots ,x_n)}=\underset{\underset{\_}{x}\to \underset{\_}{\alpha }}{\lim }\frac{1}{n!}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)=\frac{f(\alpha )}{(n-1)!}$

Alkalmazások (Retkes-azonosságok)

A Retkes-egyenlőtlenség egyik legfontosabb alkalmazása a következő: legyen $f(u)=u^{\alpha },0\le u<\mathrm{\infty }$ és $0\le \alpha$. Ekkor az iterált integrálokra

$F^{(n-1)}(s)=\frac{s^{\alpha +n-1}}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \dots \cdot (\alpha +n-1)}$

Mivel $f$ szigorúan konvex, ha $\alpha >1$, szigorúan konkáv, ha $0<\alpha <1$, valamint lineáris az $\alpha =0,1$ esetekben, így az alábbi egyenlőtlenségek, illetve azonosságok állnak fenn:

• $1<\alpha \frac{1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \dots \cdot (\alpha +n-1)}\sum _{i=1}^n\frac{x_i^{\alpha +n-1}}{{\mathrm{\Pi }}_k(x_1,\dots ,x_n)}<\frac{1}{n!}\sum _{i=1}^n{x}_i^{\alpha }$

• $\alpha =1\sum _{i=1}^n\frac{x_i^n}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots x_n)}=\sum _{i=1}^n{x}_i$

• $0<\alpha <1\frac{1}{(\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \dots \cdot (\alpha +n-1)}\sum _{i=1}^n\frac{x_i^{\alpha +n-1}}{{\mathrm{\Pi }}_k(x_1,\dots ,x_n)}>\frac{1}{n!}\sum _{i=1}^n{x}_i^{\alpha }$

• $\alpha =0\sum _{i=1}^n\frac{x_i^{n-1}}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots x_n)}=1$

Az $\alpha =1$ esetből következik a Retkes-konvergenciakritérium, hiszen az azonosság jobb oldalán éppen a $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ sor n-edik részletösszege áll.Tegyük fel a továbbiakban, hogy $x_k\ne 0k=1,\dots ,n$. Ekkor a második és negyedik azonosságban $x_k$ helyett $\frac{1}{x_k}$-t helyettesítve kapunk két új algebrai azonosságot. Az így nyerhető négy azonosságot nevezzük Retkes-azonosságoknak, melyek a következők:

• $\sum _{i=1}^n\frac{x_i^n}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots x_n)}=\sum _{i=1}^n{x}_i$

• $\sum _{i=1}^n\frac{x_i^{n-1}}{{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots x_n)}=1$

• $\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}=(-1{)}^{n-1}\prod _{i=1}^n{x}_i\sum _{i=1}^n\frac{1}{{x_i}^2{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots ,x_n)}$

• $\prod _{i=1}^n\frac{1}{x_i}=(-1{)}^{n-1}\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i{\mathrm{\Pi }}_i(x_1,\dots ,x_n)}$

Források

• Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, volume 58, 1893, pages 171–215.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.
• Zoltán Retkes, "Applications of the extended Hermite–Hadamard inequality", Journal of Inequalitites in Pure and Applied Mathematics (JIPAM), Vol 7, issue 1, article 24, (2006)
• Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.