Heine-tétel

Sablon:Részben nincs forrás A Heine-tétel a matematikai analízisben, mind az intervallumon folytonos függvények elméletében, mind (általánosan a metrikus terek esetén) a kompakt halmazon folytonos függvények szempontjából fontos tétel. Azt mondja ki, hogy korlátos és zárt intervallumon (vagy kompakt halmazon) értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.

A tétel

Korlátos, zárt intervallumon értelmezett valós értékű folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Bizonyítás

A Bolzano–Weierstrass-tétellel

Legyen $f:[a,b]\to ℝ$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény. Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy $f$ nem egyenletesen folytonos. Ekkor teljesül, hogy létezik olyan $ϵ>0$, melyre

$\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }x,y\in [a,b]:|x-y|<\delta \text{ melyekre }|f(x)-f(y)|\ge ϵ$

Rögzítve ilyen $ϵ$-t és véve egy $({\delta }_n)$ pozitív tagokból álló nullához konvergáló sorozatot, tetszőleges $n$ természetes számra a

$\{(x,y)\in [a,b]\times [a,b]:|x-y|<{\delta }_n\text{és}|f(x)-f(y)|\ge ϵ\}$

halmaz nem üres. A kiválasztási axióma alapján ekkor létezik olyan $(x_n)$ és $(y_n)$ számsorozat, hogy minden $n$ természetes számra

$|x_n-y_n|<{\delta }_n\text{és}|f(x_n)-f(y_n)|\ge ϵ.$

A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor az $(x_n)$ sorozatnak létezik konvergens részsorozata, hiszen a sorozat korlátos, lévén minden eleme az intervallumnak is eleme. Legyen az indexsorozat $\sigma$, mellyel $(x_n)\circ \sigma$ konvergens. Hasonlóképpen $(y_n)\circ \sigma$-nak is van konvergens részsorozata, legyen az ezt meghatározó indexsorozat $\tau$. Ekkor ugyanúgy, ahogy a $(x_n)$ és $(y_n)$ sorozatok különbség abszolút értéke, úgy a különbsége is nullsorozat, amiből következik, hogy a $(x_n)\circ \sigma \circ \tau =:(x{\text{'}}_n)$ és $(y_n)\circ \sigma \circ \tau =:(y{\text{'}}_n)$ sorozatok különbsége is nullsorozat, vagyis ugyanaz a határértékük; jelöljük ezt $u$-val. A határérték, a rendezés és az abszolútérték-függvény tulajdonságaiból következik, hogy

$|\lim f(x{\text{'}}_n)-\lim f(y{\text{'}}_n)|\ge ϵ,$

holott a folytonosságra vonatkozó átviteli elvből az $u$-hoz konvergáló $(x{\text{'}}_n)$ és $(y{\text{'}}_n)$ sorozatok képsorozatainak ugyanoda (az $f(u)$ függvényértékhez) kellene konvergálnia. ■

A Borel–Lebesgue-tétellel

Rögzítsünk egy tetszőleges $ϵ>0$ számot. $ϵ/2$-höz minden egyes $x\in [a,b]$ pont esetén $f$ folytonossága miatt létezik olyan $B(x,{\delta }_x)$ nyílt környezet, hogy $f(B(x,{\delta }_x))\subseteq B(f(x),ϵ/2)$. A $(B(x,{\delta }_x/2){)}_{x\in [a,b]}$ nyílt halmazokból álló halmazrendszer lefedi $[a,b]$-t, így a Borel–Lebesgue-tétel szerint létezik véges $I$ indexhalmazú $S:=(B(x,{\delta }_x/2){)}_{x\in I}$ részlefedés, mely még mindig lefedi $[a,b]$-t. Ekkor a

$\delta :=\min {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in I}\{\frac{{\delta }_x}{2}\}$

szám olyan, amilyen tulajdonságút az egyenletes folytonosság megkíván, ugyanis legyen $u,v\in [a,b]$, hogy $|u-v|<\delta$. Ekkor $u$-hoz létezik olyan $x\in I$, hogy $u\in B(x,{\delta }_x/2)$, így

$|v-x|\le |u-v|+|u-x|<\delta +\frac{{\delta }_x}{2}\le {\delta }_x$

ezért a folytonosság miatt

$|f(u)-f(v)|\le |f(u)-f(x)|+|f(v)-f(x)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$■

Általánosítás

Heine tétele tetszőleges metrikus térben is igaz, a következő formában.

Tétel – Heine tétele kompakt metrikus téren értelmezett folytonos függvényre – Ha az $f:K\to N$ metrikus terek között ható, kompakt halmazon értelmezett függvény folytonos, akkor egyenletesen folytonos.

A bizonyítás ugyanúgy zajlik, mint az egydimenziós esetben.

Egy másik típusú általánosítást kapunk, ha az egyenletes folytonosságot a következőképpen értelmezzük. A metrikus terek között ható $f:M\to N$ függvény egyenletes folytonos a $H\subseteq M$ halmazon, ha tetszőleges $ϵ$ pozitív számra létezik $\delta$ pozitív szám, hogy minden $(x,h)\in M\times H$-ra $d(x,h)<\delta$ esetén $d(f(x),f(h))<ϵ$. Ekkor a tétel így szól:

Tétel – Ha az $f:M\to N$ metrikus terek között ható függvény folytonos, akkor a $K\subseteq M$ kompakt halmazon egyenletesen folytonos.