Hasadási lemma

Tekintsük a

$0\to A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C\to 0$

rövid egzakt sorozatot valamely Abel-kategóriában. Ekkor a hasadási lemma azt állítja, hogy a következők ekvivalensek:

• bal hasadás: létezik olyan Sablon:Math, hogy Sablon:Math az identitás A-n;
• jobb hasadás: létezik olyan Sablon:Math, hogy Sablon:Math az identitás C-n;
• direkt összeg: B izomorf az $A\oplus C$ direkt összeggel.

Ha ezen ekvivalens feltételek teljesülnek, akkor azt mondjuk, hogy a rövid egzakt sorozat hasad.

A csoportok kategóriája nem Abel-kategória, és itt a hasadási lemma a fenti formában nem is teljesül. A következő gyengébb állítás igaz: ha egy rövid egzakt sorozat bal hasad vagy direkt összeg, akkor a másik két állítás is teljesül. Ugyanakkor ha jobb hasad, akkor nem szükségszerű, hogy a sorozat akár bal hasadjon, akár direkt szorzat legyen: ilyenkor csak az állítható, hogy B izomorf az $A⋊C$ szemidirekt szorzattal.

Források

• Saunders Mac Lane: Homology. Reprint of the 1975 edition, Springer Classics in Mathematics, Sablon:ISBN, p. 16
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. 2002, Cambridge University Press, Sablon:ISBN, p. 147

Fordítás

• Sablon:Fordítás