Gravitációs idődilatáció

A gravitációs idődilatáció az időeltolódás egy fajtája, amely jelenség a különböző, egymáshoz képest gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben történő megfigyelések során lép fel. Két esemény között eltelt idő tényleges különbsége, amelyet a gravitációs tömegtől különböző távolságban lévő megfigyelők mérnek. Minél alacsonyabb a gravitációs potenciál (minél közelebb van az óra a gravitáció forrásához), annál lassabban telik az idő, és ellenkezőleg gyorsabban, ahogy a gravitációs potenciál növekszik (az óra eltávolodik a gravitációs forrástól). Albert Einstein eredetileg relativitáselméletében jósolta ezt a hatást, és ezt azóta az általános relativitáselméleti tesztek is megerősítették.

Ez bebizonyította, hogy az eltérő magasságban lévő atomórák (és így a különböző gravitációs potenciálon) végül különböző időket mutatnak. Az ilyen földhöz kötött kísérletek során kimutatott hatások rendkívül kismértékűek, a különbségeket nanoszekundumokban mérik. A Föld évmilliárdos korához viszonyítva, a Föld magja gyakorlatilag csak 2,5 évvel fiatalabb a felszínénél. A nagyobb hatások szemléltetéséhez nagyobb távolságokra lenne szükség a Földtől vagy egy másik, nagyobb gravitációs forrásra.

A gravitációs időeltolódást Albert Einstein írta le először 1907-ben, mint a speciális relativitáselmélet következményét a gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben. Az általános relativitáselméletben, a különböző pozíciókban vett sajátidők közötti időbeli különbségének tekinthető, amelyet a téridő metrikus tenzora ír le. A gravitációs időeltolódás meglétét először közvetlenül Pound – Rebka kísérlettel erősítették meg 1959-ben, később pedig a Gravity Probe A és más kísérletek precízebben alátámasztották az eredményeket.

Meghatározás

A nagy tömegű testektől távol eső (vagy nagyobb gravitációs potenciállal rendelkező) órák gyorsabban járnak, míg a masszív testekhez közeli (vagy alacsonyabb gravitációs potenciállal rendelkező) órák pedig lassabban járnak. Például a Föld teljes időtartamát (4,6 milliárd év) figyelembe véve, egy órát geostacionárius helyzetbe állítottak volna körülbelül 9000 méter tengerszint feletti magasságban, például a Mount Everest tetején (tengerszint feletti magasság: 8848 m), akkor körülbelül 39 órával megelőzné a tengerszintre beállított órát. A gravitációs idődilatáció ugyanis gyorsuló vonatkoztatási rendszerben vagy az ekvivalenciaelv alapján masszív tárgyak gravitációs mezőjében nyilvánul meg.

Az általános relativitáselmélet szerint a tehetetlenségi tömeg és a gravitációs tömeg megegyezik, és az összes gyorsuló vonatkoztatási rendszer (mint például egy egyenletesen forgó vonatkoztatási rendszer a megfelelő sajátidő-dilatációval) fizikailag egyenértékű az azonos erősségű gravitációs mezővel.

Vegyünk egy megfigyelő csoportot egy egyenes "függőleges" vonal mentén, akik mindegyike különálló állandó g-erőt tapasztal a vonal irányába (pl. Hosszú gyorsuló űrhajó, felhőkarcoló, tengely a bolygón). Legyen $g(h)$ a g-erő, ami függ a "magasságtól", egy koordinátától a fent említett vonal mentén. Az egyenlet egy bázis megfigyelőhöz viszonyítva a $h=0$ van

$T_d(h)=\exp [\frac{1}{c^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}g(h^{\prime })d{h}^{\prime }]$

ahol $T_d(h)$ a teljes dilatáció egy távoli $h$ helyzetben mérve , $g(h)$ a g-erő függése a $h$ "magasságtól" , $c$ a fény sebessége, és $\exp$ hatványozást jelöl e-vel .

Az egyszerűség kedvéért egy Rindler-féle megfigyelők családjában egy sík tér-időben a függőség a következő lenne

$g(h)=c^2/(H+h)$

$H$ állandóval, amely ezt eredményezi

$T_d(h)=e^{\ln (H+h)-\ln H}=\frac{H+h}{H}$ .

Másrészt, mikor $g$ majdnem állandó és $gh$ sokkal kisebb, mint $c^2$, a lineáris "gyenge mező" közelítés is használható.$T_d=1+gh/c^2$

Lásd még az Ehrenfest-paradoxont, amikor ugyanezt a képletet alkalmazzuk egy forgó vonatkoztatási rendszerre sík tér-időben.

Forgást nem végző gömbszimmetrikus testen kívül

A gravitációs idődilatáció meghatározására használt közönséges egyenlet a Schwarzschild metrikából származik, amely a téridőt egy nem forgó, masszív, gömbszimmetrikus objektum közelében írja le. Az egyenlet az

$t_0=t_f\sqrt{1-\frac{2GM}{r{c}^2}}=t_f\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}=t_f\sqrt{1-\frac{v_e^2}{c^2}}=t_f\sqrt{1-{\beta }_e^2}$

ahol

• $t_0$ a két esemény közötti sajátidő egy megfigyelő számára, amely közel van a masszív szférához, vagyis a gravitációs mező mélyén
• $t_f$ az események közötti koordinátaidő egy olyan megfigyelő számára, amely önkényesen nagy távolságra van a masszív objektumtól (ez azt feltételezi, hogy a távoli megfigyelő Schwarzschild-koordinátákat használ, egy olyan koordináta-rendszert, ahol a hatalmas tömegű gömbtől végtelen távolságban lévő órán egy másodperc telik el a koordinátaidő egy másodpercében, míg a közelebbi órák ennél kevesebbet ketyegnek),
• $G$ a gravitációs állandó,
• $M$ a gravitációs mezőt létrehozó objektum tömege,
• $r$ a megfigyelő sugárirányú koordinátája a gravitációs mezőn belül (ez a koordináta analóg az objektum középpontjától való klasszikus értelemben vett távolsággal, de valójában ez egy Schwarzschild-koordináta; ebben a formában az egyenletnek valós megoldásai $r>r_s$ esetben vannak),
• $c$ a fény sebessége,
• $r_s=2GM/c^2$ a Schwarzschild-sugár az $M$ tömegű test esetében,
• $v_e=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$ a szökési sebesség, és
• ${\beta }_e=v_e/c$ a szökési sebesség, és a c fénysebesség hányadosa.

Ennek szemléltetésére, a forgás hatásainak figyelembevétele nélkül, a Föld gravitációs potenciáljának közelsége miatt a bolygó felszínén egy órán 0,0219 másodperccel kevesebb idő telik el egy év alatt, mint egy nagyon távoli megfigyelő óráján. Ehhez képest a nap felszínén 66,4 másodperccel kevesebb idő telik el ugyanezen egy év alatt.

Körpályák

A Schwarzschild metrikában a szabadon eső tárgyak kör alakú pályát is bejárhatnak, ha a pálya sugara nagyobb, mint $\frac{3}{2}{r}_s$ (a foton gömb sugara). A nyugalomban lévő óra képlete fentebb lett megadva; az alábbi képlet egy körpályán lévő óra általános relativisztikus idődilatációját adja meg:

$t_0=t_f\sqrt{1-\frac{3}{2}\cdot \frac{r_s}{r}}.$

Mindkét dilatációt az lentebbi ábra mutatja.

A gravitációs idődilatáció fontos jellemzői

• Az általános relativitáselmélet szerint a gravitációs idődilatáció jelensége együtt jár a gyorsuló vonatkoztatási rendszer létezésével. Emellett hasonló körülmények között minden fizikai jelenség egyformán idődilatációt szenved, az általános relativitáselméletben alkalmazott ekvivalencia-elvnek megfelelően.
• A területi fénysebesség mindig megegyezik c-vel az ott tartózkodó megfigyelő szerint. Vagyis a téridő minden infinitezimálisan kis régiójához hozzá lehet rendelni a saját sajátidejét, és a fény sebessége a sajátidő szerint ebben a régióban mindig c. Ez független attól, hogy egy adott régiót megfigyelő foglal-e el vagy sem. Időkésleltetést lehet mérni azon fotonok esetében, amelyek a Földből kibocsátódnak, a Nap közelében meghajlanak, a Vénuszra utaznak, majd hasonló úton haladnak vissza a Földre. Itt nem sérül a fénysebesség állandósága, mivel bármely megfigyelő, aki megfigyeli a fotonok sebességét a régiójukban, megállapítja, hogy ezeknek a fotonoknak sebessége c, miközben az a sebesség, amellyel a fényt megfigyeljük, véges távolságokat tesz meg a Nap közelében, különbözni fog c-től.
• Ha egy megfigyelő képes távolról messzi területre követni a fényt, amelyet egy távoli, idődilatált megfigyelő elfog, aki közelebb van egy nagy tömegű testhez, akkor az első megfigyelő nyomon követi, hogy mind a távoli fénynek, mind annak a távoli dilatált megfigyelőnek lassabb az órája mint más fénynek, amely az első megfigyelőhöz érkezik c-vel, mint minden más fény, amelyet az első megfigyelő valóban megfigyelhet (a saját helyén). Ha a másik, távoli fényt végül elfogja az első megfigyelő, azt az első megfigyelő ugyancsak c-nek fogja mérni.
• A gravitációs idődilatáció $T$ egy gravitációs potenciálban megegyezik a sebesség idődilatációjával egy olyan sebességnél, amely szükséges a gravitációs potenciál elhagyásához (tekintettel arra, hogy a metrika a következőképp alakul $g=(dt/T(x){)}^2-g_{space}$, azaz időben változatlan, és nincsenek "mozgás" kifejezéső részek $dxdt$ ). Ennek bizonyítására Noether tételét alkalmazni lehet egy testre, amely a végtelenségtől kezdve szabadon esik a centrumba. Ekkor a metrika időbeli változatlansága a mennyiség megőrzését jelenti $g(v,dt)=v^0/T^2$, hol $v^0$ a 4-es sebesség időösszetevője, $v$ a test sebességének 4-es vektora. A végtelenben $g(v,dt)=1$, így $v^0=T^2$, vagy a helyi idődilatációhoz igazított koordinátákban, $v_{loc}^0=T$ ; vagyis a megszerzett sebesség miatti dilatáció (a leeső test helyzetében mérve) megegyezik a gravitációs idődilatációval abban a potenciálban, ahová a test beesett. Ezt a bizonyítást általánosabban alkalmazva azt kapjuk, hogy (a metrikán ugyanazon feltételezések mellett) a két pont közötti relatív gravitációs idődilatáció megegyezik az alacsonyabb ponttól a magasabbig való felmászáshoz szükséges sebesség miatti idődilatációval.

Kísérleti megerősítés

A műholdas órákat a keringési sebességük lassítja, de a Föld gravitációs potenciáljától való távolságuk viszont felgyorsítja azokat.

A gravitációs idődilatációt kísérleti úton megmérték repülőgépeken lévő atomórákkal. A repülőgépek fedélzetén lévő órák valamivel gyorsabbak voltak, mint a földön. A hatás elég jelentős már ahhoz, hogy a globális helymeghatározó rendszer mesterséges műholdjainak korrigálni kelljen az óráikat.

Mindemellett a laboratóriumban kísérletileg igazolták az egy méternél kisebb magasságkülönbségek miatti dilatációkat.

A gravitációs idődilatációt megerősítette a Pound – Rebka kísérlet, a Sirius B fehér törpe spektrumának megfigyelése és a Viking 1 Mars leszállóra küldött és onnan érkező időjelekkel végzett kísérletek is.

Lásd még

• Idődilatáció
• Gravitációs vöröseltolódás
• Hafele – Keating kísérlet
• Ikerparadoxon

Fordítás

• Sablon:Fordítás

További irodalom

• Sablon:Hivatkozás/Könyv