Gauss-lemma

A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.

Primitív polinomok

Egy egész együtthatós polinomot primitívnek nevezünk, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.

Például $6x^3-5x+9$ primitív polinom.

A lemma állítása

Primitív polinomok szorzata is primitív.

A lemma bizonyítása

Indirekt tegyük fel, hogy a primitív $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ és $g(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_m{x}^m$ polinomok szorzata nem primitív. A szorzat

$h(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n+m}{x}^{n+m},$

ahol

$c_k=a_0{b}_k+a_1{b}_{k-1}+\cdots +a_k{b}_0.$

Van tehát olyan $p$ prímszám, ami minden $c_k$-nak osztója. Legyen $k$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $a_k$-nak és hasonlóan legyen $l$ a legkisebb index, amire $p$ nem osztója $b_l$-nek. Ekkor a $c_{k+l}$ azon $a_i{b}_j$ tagok összege, amikre $i+j=k+l$ teljesül. Ebben az összegben

minden tag osztható $p$-vel, amiben $i<k$,

minden tag osztható $p$-vel, amiben $j<l$,

a fennmaradó egyetlen tag, $a_k{b}_l$ viszont nem osztható $p$-vel.

Tehát $c_{k+l}$ nem osztható $p$-vel, ellentmondás.

Alkalmazás

Ha a $H(x)$ egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós $f(x)$ és $g(x)$ polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós $F(x)$ és $G(x)$ polinomok szorzatára is felbontható, ahol $F(x)$ fokszáma megegyezik $f(x)$-ével, $G(x)$ fokszáma pedig $g(x)$-ével.

Valóban, legyen $A$ az $f(x)$ nevezőinek legkisebb közös többszöröse (azaz ekkor $Af(x)$ egész együtthatós) illetve $a$ az $Af(x)$ polinom együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor $Af(x)=aF(x)$, ahol $F(x)$ szintén egész együtthatós polinom. Elosztva $A$-val$f(x)=\frac{a}{A}F(x)$ adódik. Legyen hasonlóan $B$ a $g(x)$ nevezőinek legkisebb közös többszöröse és $b$ a $Bg(x)$ együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor hasonlóan az előzőekhez $g(x)=\frac{b}{B}G(x)$ adódik. Legnagyobb közös osztók kiemelése miatt $F(x)$ és $G(x)$ primitív polinomok. Továbbá $(a,A)=(b,B)=1$.

Amit tudunk még, az

$\frac{a}{A}F(x)\frac{b}{B}G(x)=H(x).$

egyenlőség.

Azt is feltehetjük, hogy $(a,B)=(A,b)=1$, hiszen, ha például $a$-nak és $B$-nek lenne egy $d>1$ közös osztója, akkor $a$-t és $B$-t $d$-vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.

Kaptuk tehát, hogy

$(ab,AB)=1$

. Felszorozva

$ab\cdot F(x)G(x)=AB\cdot H(x)$

adódik. Mivel

$H(x)$

egész együtthatós,

$AB$

osztja a bal oldali polinom minden együtthatóját. De

$(ab,AB)=1$

, ezért

$AB$

osztja

$F(x)G(x)$

minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha

$AB=1$

, azaz

$A=B=1$

. Ezzel készen vagyunk, hiszen

$aF(X)\cdot bG(x)$

a

$H(x)$

felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.