Gömbi geometria

A gömbi geometria a geometria egy ágazata, ami a gömbfelületet írja le. Felfogható nemeuklideszi geometriaként is.

Tekintsünk egy egységsugarú, $O$ középpontú $G$ gömböt. (Elegendő az egységsugarú gömbökkel foglalkoznunk, hiszen bármely két gömb hasonló.) A gömbök síkmetszetei körök, melyek közül azok a legnagyobbak, melyek síkja átmegy a gömb középpontján. A maximális sugarú körök a gömbön a főkörök. Tehát az euklideszi geometriában megjelenő egyenesek szerepét a gömbi geometriában a főkörök veszik át. Gömbi szakaszoknak nevezzük a gömb $π$ -nél nem hosszabb főköríveit. Gömbi egyeneseknek nevezzük a gömb főköreit. Ha $A$ és $B$ a gömb két nem átellenes pontja, akkor az $A O B$ sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek az $A$ és $B$ közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha $A$ és $B$ átellenes pontok, akkor végtelen sok $π$ hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

Az $A$ és $B$ pontok gömbi távolsága, melyet $d (A, B)$ -vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

Az ábrán látható főkörök síkjainak hajlásszöge, a körök érintőinek hajlásszöge.

A gömbfelület két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont főkörívének felező merőleges főkörén helyezkednek el.

Gömbkétszög:

A gömbkétszög felülete: $F = 2 r^{2} α$ .

Gömbháromszög

Ha az $A, B, C$ pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az $A B C$ gömbháromszögnek. Az $A B C$ gömbháromszög csúcsai az $A$ , $B$ , $C$ pontok, oldalszakaszai az $A, B, C$ pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: $a = d (B, C)$ , $b = d (A, C)$ és $c = d (A, B)$ . Az $A B C$ gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög = $α$ az $A B$ és $A C$ főkörívek $A$ -beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az $O A$ egyenes által határolt, $B$ -t, illetve $C$ -t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög = $β$ és BCA szög = $γ$ szögeket. Az $A B C$ euklideszi háromszög $A$ csúcsnál lévő szöge általában különbözik az $A B C$ gömbháromszög $α$ szögétől.

Tulajdonságai: Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál, a gömbi geometriában az oldal az ívhossznak megfelelő (csakúgy, mint az euklideszi síkban). Felület: $F = (α + β + γ - π) r^{2}$ . Gömbi felesleg: $α + β + γ - π$ .

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a szinusz-, koszinusz-tétel, illetve a Pitagorasz-tétel.

Gömbi szinusz-tétel

$\sin a : \sin b : \sin c = \sin α : \sin β : \sin γ$

Bizonyítás1.: Legyen az $A$ pont merőleges vetülete az $O B C$ síkra $D$ , és legyen $D$ vetülete az $O B$ , illetve $O C$ egyenesekre $E$ és $F$ . Ekkor nyilván $A E ⊥ O B$ -re és $A F ⊥ O C$ -re. Viszont $A E D$ szög = $β$ és $A F D$ szög = $γ$ , tehát $\sin β$ = $\frac{A D}{A E}$ és $\sin γ$ = $\frac{A D}{A F}$ , ezért $\sin β : \sin γ$ = $A F : A E$ . Azonban $A O B$ szög = $c$ , így $A E = \sin c$ . Hasonlóan $A F = \sin b$ , tehát $\sin β : \sin γ = \sin b : \sin c$ .

Bizonyítás2.: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \vec{b} \vec{c}) \vec{b}$

$\vec{a} \vec{b} \vec{c} = | (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) | = \sin c \sin a \sin (π - β)$

másrészt: $(\vec{c} \times \vec{a}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \vec{b} \vec{c}) \vec{a}$

$\vec{a} \vec{b} \vec{c} = | (\vec{c} \times \vec{a}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) | = \sin b \sin c \sin (π - α)$

$⟶ \sin c \sin a \sin β = \sin b \sin c \sin α$

$\frac{\sin a}{\sin b} = \frac{\sin α}{\sin β}$

Gömbi koszinusz-tétel oldalakra

$\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos γ$

Bizonyítás: $(\vec{b} \times \vec{c}) (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{b} (\vec{c} \times (\vec{c} \times \vec{a})) = \vec{b} ((\vec{a} \vec{c}) \vec{c} - (\vec{c} \vec{c}) \vec{a}) = (\vec{a} \vec{c}) (\vec{b} \vec{c}) - (\vec{c} \vec{c}) (\vec{a} \vec{b}) = \cos \vec{b} \cos \vec{a} - \cos \vec{c}$ másrészt: $(\vec{b} \times \vec{c}) (\vec{c} \times \vec{a}) = \sin \vec{a} \sin \vec{b} \cos (π - γ)$

$⟶ \cos \vec{b} \cos \vec{a} - \cos \vec{c} = - \sin \vec{a} \sin \vec{b} \cos γ$ $\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos γ$

Gömbi koszinusz-tétel szögekre

$\cos γ = - \cos α \cos β + \sin α \sin β \cos c$

Bizonyítás: oldalakra vonatkozó koszinusz-tételt alkalmazzuk a polár gömbháromszögre

$\cos c^{*} = \cos a^{*} \cos b^{*} + \sin a^{*} \sin b^{*} \cos γ^{*}$

$c^{*} = π - γ$

$a^{*} = π - α$

$b^{*} = π - β$

$- \cos γ = \cos α \cos β + \sin α \sin β (- \cos c)$

$\cos γ = - \cos α \cos β + \sin α \sin β \cos c$

Gömbi Pitagorasz-tétel

$c o s c = c o s a c o s b$

speciális esete az oldalakra vonatkozó koszinusz-tételnek, ahol $γ = 9 0^{o}$

Polár gömbháromszög

Válasszuk az $A^{*}$ pontot a gömbön úgy, hogy az $O A^{*}$ vektor az $O B C$ síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az $A$ -t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk $B^{*}$ -ot és $C^{*}$ -ot. Az $A^{*} B^{*} C^{*}$ gömbháromszög az $A B C$ gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az $a^{*}$ , $b^{*}$ , $c^{*}$ és $α^{*}$ , $β^{*}$ , $γ^{*}$ betűkkel jelöljük.

gömbháromszög oldalai:

$a = (b, c)$ szög = $\arccos (\vec{b} \vec{c})$

$b = (c, a)$ szög = $\arccos (\vec{c} \vec{a})$

$c = (a, b)$ szög = $\arccos (\vec{a} \vec{b})$

szögekkel való összefüggések:

$(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c})$ szög = $π - β$

$(\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a})$ szög = $π - γ$

$(\vec{c} \times \vec{a}, \vec{a} \times \vec{b})$ szög = $π - α$

polár gömbháromszög vektorai:

${\vec{c}}^{*} = (\vec{a} \times \vec{b})^{\circ}$

${\vec{b}}^{*} = (\vec{c} \times \vec{a})^{\circ}$

${\vec{a}}^{*} = (\vec{b} \times \vec{c})^{\circ}$

polár gömbháromszög oldalainak hossza:

${\vec{a}}^{*} = ({\vec{c}}^{*}, {\vec{b}}^{*})$ szög = $(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \times \vec{a})$ szög = $π - α$

${\vec{b}}^{*} = ({\vec{a}}^{*}, {\vec{c}}^{*})$ szög = $(\vec{b} \times \vec{c}, \vec{a} \times \vec{b})$ szög = $π - β$

${\vec{c}}^{*} = ({\vec{b}}^{*}, {\vec{a}}^{*})$ szög = $(\vec{c} \times \vec{a}, \vec{b} \times \vec{c})$ szög = $π - γ$

polár gömbháromszög polár gömbháromszöge:

megegyezik az eredeti polár gömbháromszöggel

${\vec{c}}^{* *} = ({\vec{a}}^{*} \times {\vec{b}}^{*})^{\circ}$

${\vec{b}}^{* *} = ({\vec{c}}^{*} \times {\vec{a}}^{*})^{\circ}$

${\vec{a}}^{* *} = ({\vec{b}}^{*} \times {\vec{c}}^{*})^{\circ}$

${\vec{b}}^{* *} ↑ ↑ {\vec{c}}^{*} \times {\vec{a}}^{*} ↑ ↑ (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = ((\vec{a} \times \vec{b}) \vec{c}) \vec{b} - ((\vec{a} \times \vec{b}) \vec{b}) \vec{c} = (\vec{a} \vec{b} \vec{c}) \vec{b}$

Gömbi geometria

Tartalomjegyzék

Gömbháromszög

Gömbi szinusz-tétel

Gömbi koszinusz-tétel oldalakra

Gömbi koszinusz-tétel szögekre

Gömbi Pitagorasz-tétel

Polár gömbháromszög

Navigációs menü

Gömbi geometria

Gömbháromszög

Gömbi szinusz-tétel

Gömbi koszinusz-tétel oldalakra

Gömbi koszinusz-tétel szögekre

Gömbi Pitagorasz-tétel

Polár gömbháromszög

Navigációs menü

Keresés