Gömbi geometria

A gömbi geometria a geometria egy ágazata, ami a gömbfelületet írja le. Felfogható nemeuklideszi geometriaként is.

Tekintsünk egy egységsugarú, $O$ középpontú $G$ gömböt. (Elegendő az egységsugarú gömbökkel foglalkoznunk, hiszen bármely két gömb hasonló.) A gömbök síkmetszetei körök, melyek közül azok a legnagyobbak, melyek síkja átmegy a gömb középpontján. A maximális sugarú körök a gömbön a főkörök. Tehát az euklideszi geometriában megjelenő egyenesek szerepét a gömbi geometriában a főkörök veszik át. Gömbi szakaszoknak nevezzük a gömb $\pi$-nél nem hosszabb főköríveit. Gömbi egyeneseknek nevezzük a gömb főköreit. Ha $A$ és $B$ a gömb két nem átellenes pontja, akkor az $AOB$ sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek az $A$ és $B$ közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha $A$ és $B$ átellenes pontok, akkor végtelen sok $\pi$ hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

Az $A$ és $B$ pontok gömbi távolsága, melyet $d(A,B)$-vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

Az ábrán látható főkörök síkjainak hajlásszöge, a körök érintőinek hajlásszöge.

A gömbfelület két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont főkörívének felező merőleges főkörén helyezkednek el.

Gömbkétszög:

A gömbkétszög felülete: $F=2r^2\alpha$.

Gömbháromszög

A gömbháromszög szögeinek összege nem egyenlő 180 fokkal

Ha az $A,B,C$ pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az $ABC$ gömbháromszögnek. Az $ABC$ gömbháromszög csúcsai az $A$, $B$, $C$ pontok, oldalszakaszai az $A,B,C$ pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: $a=d(B,C)$, $b=d(A,C)$ és $c=d(A,B)$. Az $ABC$ gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög = $\alpha$ az $AB$ és $AC$ főkörívek $A$-beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az $OA$ egyenes által határolt, $B$-t, illetve $C$-t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög =$\beta$ és BCA szög = $\gamma$ szögeket. Az $ABC$ euklideszi háromszög $A$ csúcsnál lévő szöge általában különbözik az $ABC$ gömbháromszög $\alpha$ szögétől.

Tulajdonságai: Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál, a gömbi geometriában az oldal az ívhossznak megfelelő (csakúgy, mint az euklideszi síkban). Felület: $F=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )r^2$. Gömbi felesleg: $\alpha +\beta +\gamma -\pi$.

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a szinusz-, koszinusz-tétel, illetve a Pitagorasz-tétel.

Gömbi szinusz-tétel

$\sin a:\sin b:\sin c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$

Bizonyítás1.: Legyen az $A$ pont merőleges vetülete az $OBC$ síkra $D$, és legyen $D$ vetülete az $OB$, illetve $OC$ egyenesekre $E$ és $F$. Ekkor nyilván $AE\perp OB$-re és $AF\perp OC$-re. Viszont $AED$ szög = $\beta$ és $AFD$ szög = $\gamma$, tehát $\sin \beta$ = $\frac{AD}{AE}$ és $\sin \gamma$ = $\frac{AD}{AF}$, ezért $\sin \beta :\sin \gamma$ = $AF:AE$. Azonban $AOB$ szög = $c$, így $AE=\sin c$. Hasonlóan $AF=\sin b$, tehát $\sin \beta :\sin \gamma =\sin b:\sin c$.

Bizonyítás2.: $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})|=\sin c\sin a\sin (\pi -\beta )$

másrészt: $(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=|(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})|=\sin b\sin c\sin (\pi -\alpha )$

$⟶\sin c\sin a\sin \beta =\sin b\sin c\sin \alpha$

$\frac{\sin a}{\sin b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

Gömbi koszinusz-tétel oldalakra

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma$

Bizonyítás: $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}))=\overrightarrow{b}((\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{c}\overrightarrow{c})\overrightarrow{a})=(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{c}\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=\cos \overrightarrow{b}\cos \overrightarrow{a}-\cos \overrightarrow{c}$ másrészt:$(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=\sin \overrightarrow{a}\sin \overrightarrow{b}\cos (\pi -\gamma )$

$⟶\cos \overrightarrow{b}\cos \overrightarrow{a}-\cos \overrightarrow{c}=-\sin \overrightarrow{a}\sin \overrightarrow{b}\cos \gamma$ $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma$

Gömbi koszinusz-tétel szögekre

$\cos \gamma =-\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos c$

Bizonyítás: oldalakra vonatkozó koszinusz-tételt alkalmazzuk a polár gömbháromszögre

$\cos c^{\ast }=\cos a^{\ast }\cos b^{\ast }+\sin a^{\ast }\sin b^{\ast }\cos {\gamma }^{\ast }$

$c^{\ast }=\pi -\gamma$

$a^{\ast }=\pi -\alpha$

$b^{\ast }=\pi -\beta$

$-\cos \gamma =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta (-\cos c)$

$\cos \gamma =-\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos c$

Gömbi Pitagorasz-tétel

$cosc=cosacosb$

speciális esete az oldalakra vonatkozó koszinusz-tételnek, ahol $\gamma =90^o$

Polár gömbháromszög

Válasszuk az $A^{\ast }$ pontot a gömbön úgy, hogy az $O{A}^{\ast }$ vektor az $OBC$ síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az $A$-t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk $B^{\ast }$-ot és $C^{\ast }$-ot. Az $A^{\ast }{B}^{\ast }{C}^{\ast }$ gömbháromszög az $ABC$ gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az $a^{\ast }$, $b^{\ast }$, $c^{\ast }$ és ${\alpha }^{\ast }$ , ${\beta }^{\ast }$, ${\gamma }^{\ast }$ betűkkel jelöljük.

gömbháromszög oldalai:

$a=(b,c)$szög = $\arccos (\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})$

$b=(c,a)$szög = $\arccos (\overrightarrow{c}\overrightarrow{a})$

$c=(a,b)$szög = $\arccos (\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})$

szögekkel való összefüggések:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b},\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$ szög = $\pi -\beta$

$(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c},\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})$ szög = $\pi -\gamma$

$(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ szög = $\pi -\alpha$

polár gömbháromszög vektorai:

${\overrightarrow{c}}^{\ast }=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}{)}^{\circ }$

${\overrightarrow{b}}^{\ast }=(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}{)}^{\circ }$

${\overrightarrow{a}}^{\ast }=(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}{)}^{\circ }$

polár gömbháromszög oldalainak hossza:

${\overrightarrow{a}}^{\ast }=({\overrightarrow{c}}^{\ast },{\overrightarrow{b}}^{\ast })$ szög = $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})$szög = $\pi -\alpha$

${\overrightarrow{b}}^{\ast }=({\overrightarrow{a}}^{\ast },{\overrightarrow{c}}^{\ast })$ szög = $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$szög = $\pi -\beta$

${\overrightarrow{c}}^{\ast }=({\overrightarrow{b}}^{\ast },{\overrightarrow{a}}^{\ast })$ szög = $(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$szög = $\pi -\gamma$

polár gömbháromszög polár gömbháromszöge:

megegyezik az eredeti polár gömbháromszöggel

${\overrightarrow{c}}^{\ast \ast }=({\overrightarrow{a}}^{\ast }\times {\overrightarrow{b}}^{\ast }{)}^{\circ }$

${\overrightarrow{b}}^{\ast \ast }=({\overrightarrow{c}}^{\ast }\times {\overrightarrow{a}}^{\ast }{)}^{\circ }$

${\overrightarrow{a}}^{\ast \ast }=({\overrightarrow{b}}^{\ast }\times {\overrightarrow{c}}^{\ast }{)}^{\circ }$

${\overrightarrow{b}}^{\ast \ast }\uparrow \uparrow {\overrightarrow{c}}^{\ast }\times {\overrightarrow{a}}^{\ast }\uparrow \uparrow (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=((\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-((\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}$