Fibonacci-polinomok

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok definíciója (amely a kiszámítási módjukat is megadja) a következő:

(C és n természetes számok, lásd https://oeis.org/A011973 ):

$f_1(C,0)=0$

$f_1(C,1)=1$

$f_1(C,n+1)=C{f}_1(C,n)+f_1(C,n-1)$.

Ha (n) értéke 1-től 13-ig változik, az alábbi táblázatot kapjuk:

(n=1) $(1)$

(n=2) $(C)$

(n=3) $(C^2+1)$

(n=4) $(C^3+2C)$

(n=5) $(C^4+3C^2+1)$

(n=6) $(C^5+4C^3+3C)$

(n=7) $(C^6+5C^4+6C^2+1)$

(n=8) $(C^7+6C^5+10C^3+4C)$

(n=9) $(C^8+7C^6+15C^4+10C^2+1)$

(n=10) $(C^9+8C^7+21C^5+20C^3+5C)$

(n=11) $(C^{10}+9C^8+28C^6+35C^4+15C^2+1)$

(n=12) $(C^{11}+10C^9+36C^7+56C^5+35C^3+6C)$

(n=13) $(C^{12}+11C^{10}+45C^8+84C^6+70C^4+21C^2+1)$

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok (páratlan n-ek esetében)

megkaphatók a következő formulával is:

$f_1(C,n)=\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-k}{k})C^{n-1-2k}$

Az alábbi függvény (a Binet-formula általánosítása) is azonos eredményre vezet

(ez a Fibonacci-polinomok kiszámításának legbonyolultabb módja):

$f_1(C,n)=\frac{{\left(\frac{C+\sqrt{C^2+4}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{C-\sqrt{C^2+4}}{2}\right)}^n}{\sqrt{C^2+4}}$

A (2. számú) Fibonacci-polinomok

A Fibonacci-polinomoknak létezik egy másik "családja" is.

Ez abban különbözik, hogy a műveletek során nem az utolsó,

hanem az utolsó előtti polinomot kell szorozni a "D" konstanssal.

$f_2(D,0)=0$

$f_2(D,1)=1$

$f_2(D,n+1)=f_2(D,n)+D{f}_2(D,n-1)$

(n=1) $(1)$

(n=2) $(1)$

(n=3) $(1+D)$

(n=4) $(1+2D)$

(n=5) $(1+3D+D^2)$

(n=6) $(1+4D+3D^2)$

(n=7) $(1+5D+6D^2+D^3)$

(n=8) $(1+6D+10D^2+4D^3)$

(n=9) $(1+7D+15D^2+10D^3+D^4)$

(n=10) $(1+8D+21D^2+20D^3+5D^4)$

(n=11) $(1+9D+28D^2+35D^3+15D^4+D^5)$

(n=12) $(1+10D+36D^2+56D^3+35D^4+6D^5)$

(n=13) $(1+11D+45D^2+84D^3+70D^4+21D^5+D^6)$

Zárt formula:

$f_2(D,n)=\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1-k}{k})D^k$

Általános alak:

$f_2(D,n)=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{1+4D}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{1+4D}}{2}\right)}^n}{\sqrt{1+4D}}$

(Megjegyzés)

Legfőbb különbség a két polinom-család között az, hogy az 1. Fibonacci-polinomok "hiányosak"

(vagy csupa páros, vagy csupa páratlan kitevőjű hatványt tartalmaznak).

(Megjegyzés Nr 2.)

Mindkét polinom-családban közös, hogy ha az együtthatókat összeadjuk,

akkor Fibonacci-számokat kapunk, például:

ha (n=11) $(1+9+28+35+15+1)=89$

vagy (n=13) $(1+11+45+84+70+21+1)=233.$

(Megjegyzés Nr 3.)

A rekurzió miatt, ha (n) értéke osztható (d)-vel, akkor $f_1(C,n)$ osztható $f_1(C,d)$-vel, illetve

$f_2(D,n)$ osztható $f_2(D,d)$-vel (akár konkrét számokról, akár polinomokról van szó).

(Megjegyzés Nr 4.)

Mindkét esetben, ha (n) értéke prímszám, akkor a hozzá tartozó polinom irreducibilis (a természetes

számok teste felett), ha (n) értéke összetett szám, akkor a hozzá tartozó polinom reducibilis.

(Megjegyzés Nr 5.)

Az (1. számú) Fibonacci-polinomok általános alakjában szereplő $\frac{C+\sqrt{C^2+4}}{2}$ kifejezés

megkapható, mint az $x^2-Cx-1=0$ (másodfokú) egyenlet nagyobbik (pozitív) gyöke is,

továbbá ez a gyök egy állandó számokból álló ("homogén") lánctört határértéke is egyben:

$x_1=\frac{C+\sqrt{C^2+4}}{2}=[C;C,C,C,C,C,C,C,\cdots ]=C+\frac{1}{C+\frac{1}{C+\cdots }}$.

ARANY, EZÜST ÉS FÉM-SZÁMOKAT ELŐÁLLÍTÓ POLINOMOK

A fent ismertetett két módszert kombinálni is lehet,

(amikor a C-vel és a D-vel való szorzást egy ütemben hajtjuk végre):

$f_3(C,D,0)=0$

$f_3(C,D,1)=1$

$f_3(C,D,n+1)=C{f}_3(C,D,n)+D{f}_3(C,D,n-1)$

Polinomjaink (ha (n) értéke 1-től 13-ig változik) a következők:

(n=1) $(1)$

(n=2) $(C)$

(n=3) $(C^2+D)$

(n=4) $(C^3+2CD)$  

(n=5) $(C^4+3C^{2}D+D^2)$

(n=6) $(C^5+4C^{3}D+3C{D}^2)$

(n=7) $(C^6+5C^{4}D+6C^2{D}^2+D^3)$

(n=8) $(C^7+6C^{5}D+10C^3{D}^2+4C{D}^3)$

(n=9) $(C^8+7C^{6}D+15C^4{D}^2+10C^2{D}^3+D^4)$

(n=10) $(C^9+8C^{7}D+21C^5{D}^2+20C^3{D}^3+5C{D}^4)$

(n=11) $(C^{10}+9C^{8}D+28C^6{D}^2+35C^4{D}^3+15C^2{D}^4+D^5)$

(n=12) $(C^{11}+10C^{9}D+36C^7{D}^2+56C^5{D}^3+35C^3{D}^4+6C{D}^5)$

(n=13) $(C^{12}+11C^{10}D+45C^8{D}^2+84C^6{D}^3+70C^4{D}^4+21C^2{D}^5+D^6)$

Vegyük az alábbi (másodfokú) egyenlet két gyökét

(ahol (C) természetes szám, (D) egész-szám):

$x^2-Cx-D=0$

$x_1=\frac{C+\sqrt{C^2+4D}}{2}$

$x_2=\frac{C-\sqrt{C^2+4D}}{2}$

Ezzel a két gyökkel (a Fibonacci-számokat generáló függvény mintájára)

megkonstruálhatunk egy (három-változós) függvényt:

$f_3(C,D,n)=\frac{(x_1{)}^n-(x_2{)}^n}{x_1-x_2},$ azaz

$f_3(C,D,n)=\frac{{\left(\frac{C+\sqrt{C^2+4D}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{C-\sqrt{C^2+4D}}{2}\right)}^n}{\sqrt{C^2+4D}}$

Ez a függvény (a hozzá tartozó polinomokkal együtt) "univerzális", mert

(I.) $(C=1)$ és $(D=1)$ esetén a "Fibonacci-számokat" állítja elő,

(II.) $(D=1)$ és $(C=2,3,4)$ esetén a "METAL-számokat" (ezüst, bronz, vörösréz) állítja elő,

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/FiboGene.htm

(III.)

$(C=6)$ és $(D=-1)$ esetében azokat a számokat, melyeknek a "négyzete háromszögszám", az

$M^2=N(N+1)/2$  (Diofantoszi) egyenlet egész (M) megoldásait:

(M = 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860,

1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790,

62072759630771, 361786555939836, 2108646576008245, 12290092900109634, 71631910824649559 ...).

(IV.)

$(D=1)$ és $(n=3)$ esetében a $(C^2+1)$ formulát kapjuk, ami $(C=2,4,16,256)$ esetében

a Fermat-féle prímszámokat állítja elő $(5,17,257,65537)$,

(V.)

$(C=3)$ és $(D=-2)$ esetében pedig Mersenne-számokat kapunk, képletük: $(M_n=2^n-1).$

Bármilyen meglepő, ebből az következik, hogy a "Mersenne-számok" is rekurzívak:

$M_0=0$

$M_1=1$

$M_{n+1}=3M_n-2M_{n-1}$