Függvénysorozatok konvergenciája

A valós analízisben függvénysorozaton olyan sorozatot értünk, melynek minden eleme egy valós függvény. A számsorozatokhoz hasonlóan értelmezhető függvénysorozatok konvergenciája is. Ennek két főbb változatát különböztetjük meg: a pontonkénti, illetve az egyenletes konvergenciát.

Pontonkénti konvergencia

Legyen az $f_n:X\to ℝ$ egy $X$ halmazon értelmezett függvénysorozat. Azt mondjuk, hogy $f_n$ pontonként konvergál az $f:X\to ℝ$ függvényhez, ha minden rögzített $x\in X$ számra

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$.

Jelölése: $\lim f_n=f$

Tehát az értelmezési tartomány minden $x$ pontjához definiálunk egy olyan számsorozatot, melynek $n$. eleme éppen az az érték, amit $f_n$ az $x$-hez rendel. Ha az összes ilyen sorozat konvergens lesz, akkor ezek határértéke kijelöli $f$-nek a különböző $x$-ekhez rendelt értékeit. Ekkor azt mondjuk, hogy $f_n$ pontonként konvergens, és limesze az $f$ függvény.

A pontonkénti konvergencia (az egyenletes konvergenciával ellentétben) kivezet a folytonos függvények köréből, azaz még csupa folytonos függvényből álló $f_n$ függvénysorozat esetén sem biztos, hogy azok limesze is folytonos lesz.

Példa

Legyen $f_n:[0,1]\to ℝ,f_n(x)=x^n$. Az $x^n$ függvény folytonos a pozitív egész $n$-ekre, ezért $f_n$ elemei is azok. Mivel $x^n$ a 0-hoz tart $0\le x<1$ esetén és 1-hez $x=1$ esetén, ezért

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ha }0\le x<1\\ 1,& \text{ha }x=1\end{array}$.

Ez a függvény nyilván nem folytonos az 1 pontban.

Egyenletes konvergencia

Azt mondjuk, hogy egy $f_n:X\to ℝ$ függvénysorozat egyenletesen konvergál az $f:X\to ℝ$ függvényhez az $X$ halmazon, ha minden $\epsilon >0$ számhoz létezik olyan $n_0\in \mathbb{N}$ küszöbindex, hogy tetszőleges $n\ge n_0$ esetén minden $x\in X$-re teljesül, hogy

$|f(x)-f_n(x)|<\epsilon$.

Jelölése: $f_n$ $f$

Az egyenletes konvergencia már zárt a folytonos függvények halmazára nézve, azaz folytonos függvények limesze is folytonos.

Ha egy egy függvénysorozat egyenletesen tart $f$-hez, akkor pontonként is. Ez fordítva nem feltétlenül igaz. A különbség lényege, hogy adott $\epsilon$ mellett az egyenletes konvergencia esetén minden $x$-hez egy közös, míg a pontonkénti konvergencia esetben $x$-enként különböző küszöbindex található.

Források

• Dancs István: Analízis I.