Euler sejtése hatványok összegéről

Euler sejtése hatványok összegéről, amely a nagy Fermat-tétel egyféle általánosítása, 1769-től 1966-ig volt sejtés, amikor megcáfolták.

Euler a sejtést 1769-ben fogalmazta meg a következőképpen:

Ha n és k 1-nél nagyobb természetes számok, akkor ha léteznek az $x_1,x_2,....,x_n,y$ természetes számok úgy, hogy $x_1^k+x_2^k+....+x_n^k=y^k$, akkor $n\ge k,$ azaz csak legalább $k$ szám $k$-adik hatványának az összege lehet egy szám $k$-adik hatványa.

$n=2$-re kapjuk a nagy Fermat-tételt, amely sokáig szintén sejtés volt.

L. J. Lander és T. R. Parkin 1966-ban számítógéppel a következő ellenpéldát találták a sejtésre:

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$.

Ezzel bebizonyították, hogy általában nem igaz Euler sejtése. Eredményüket egy nyolcsoros cikkben közölték.

A sejtés $k=2$ és $k=3$ értékekre igaz, $k=4$ és $k=5$ értékekre nem igaz. Más értékre nem tudni, hogy igaz-e vagy sem.

Források

• L.E. Dickson: History of the theory of numbers, vol. 2. Chelsea, New York, 1952. p. 648.
• L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers, Bull. Amer. Math. Soc. 72, 6 (1966) p. 1079.