Euklideszi reláció
Ugrás a navigációhoz
Ugrás a kereséshez
 |
Egy kétváltozós relációt akkor nevezünk euklideszi relációnak,[1] ha a relációk mindig egyfajta háromszöget alkotnak; ha egy elem relációban áll két másikkal, akkor azok is (valamilyen irányú) relációban kell álljanak egymással.
Definíció
Az halmazon értelmezett reláció euklideszi, ha bármely esetén valahányszor és egyszerre teljesül, mindannyiszor is teljesül.
Általában véve az elsőrendű logika nyelvén:
- euklideszi
Példák
- az egyenesek párhuzamossága (mert ha az egyenes párhuzamos az egyenessel, az egyenes pedig párhuzamos a egyenessel, akkor az egyenes szükségszerűen párhuzamos a egyenessel is),
- családban a (nem fél)testvér-reláció (mert a párhuzamossághoz hasonlóan, bár senki nem testvére magának, az ember testvérei testvérei egymásnak.)
Nem ilyen
- az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert pl. egy személy fölmenő rokona az unokájának és a lányának is, azonban az unokája nem felmenője a lányának).
- a halmazok között a tartalmazási reláció,
- a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert pl. osztja -et és -ot is, de nem osztja -ot),
- az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert az ember nem minden ismerőse ismeri egymást).
További példák euklideszi relációkra
- minden ekvivalenciareláció, úgymint:
- halmazokon az ekvivalencia, azaz számosságazonosság
- egész számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás (mivel ezek ekvivalenciarelációk),
- egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
- a tér síkjain a párhuzamosság
Viszonya más relációkhoz
- Egy reláció euklideszi tulajdonsága és tranzitivitása bár hasonlónak tűnik, önmagában egyik sem következik a másikból.
- Egy szimmetrikus reláció már pontosan akkor euklideszi, ha tranzitív.
- Egy reflexív reláció ha euklideszi is, akkor tranzitív és szimmetrikus is, azaz ekvivalenciareláció.
Jegyzetek
Források
- ↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi reláció, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).