Erdős–Mordell-egyenlőtlenség

Az Erdős–Mordell-tétel a következő geometriai egyenlőtlenség:

Ha az ABC háromszög belsejében levő P pont távolsága a csúcsoktól p,q,r, az oldalaktól x,y,z, akkor $p+q+r\ge 2(x+y+z)$.

Ezt Erdős Pál sejtette meg, első bizonyítását a Középiskolai Matematikai Lapokban publikálta Louis Mordell.

Bizonyítás

Legyenek ABC oldalai a, b, c. A következő állítást használjuk fel a bizonyításhoz:

$cr\ge ax+by$.

Ez egyenértékű az

$r+z\ge \frac{ax+by+cz}{c}$

egyenlőtlenséggel, ami nyilván igaz, mert a jobb oldal az AB oldalhoz tartozó magasság. Tükrözzük P pontot az ACB szögfelezőjére, képére alkalmazva a segédállítást: cr$\ge$ay+bx. Hasonlóan adódik, hogy bq$\ge$az+cx és ap$\ge$bz+cy. Ezeket a megfelelő oldalakkal leosztva:

$r\ge (a/c)y+(b/c)x$,

$q\ge (a/b)z+(c/b)x$,

$p\ge (b/a)z+(c/a)y$.

A kapott három egyenlőtlenség összege pedig

$p+q+r\ge (\frac{b}{c}+\frac{c}{b})x+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})y+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})z$.

Mivel pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, ezért készen vagyunk. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha ABC szabályos háromszög és P a középpontja.

Források

• L.J. Mordell: Egy geometriai probléma megoldása, Középiskolai Matematikai Lapok, 1935, 145-146.
• Reiman István: A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest, 1986.