Erdős–Kac-tétel

Az Erdős–Kac-tétel a valószínűségszámítás és a számelmélet területén azt állítja, hogy ha ω(n) egy n szám egymástól különböző prímtényezőinek száma, és, ha az n számot 1 és N között egyenlő eséllyel sorsoljuk ki, akkor az

$\frac{\omega (n)-\log \log N}{\sqrt{\log \log N}}$ véletlen érték

valószínűség-eloszlása standard normális eloszlást mutat, amennyiben N elég nagy.

Ez a tétel a Hardy–Ramanujan-tétel kiterjesztése, mely azt állítja, hogy ω(n) átlagértéke log log N, a szórás pedig $\sqrt{\log \log N}$. Pontosabban kifejtve a < b esetre:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{x}\cdot \mathrm{\#}\{n\le x:a\le \frac{\omega (n)-\log \log N}{\sqrt{\log \log N}}\le b\})=\mathrm{\Phi }(a,b)$

ahol $\mathrm{\Phi }(a,b)$ a normális eloszlás, vagy más néven Gauss-eloszlás: $\mathrm{\Phi }(a,b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{-t^2/2}dt.$ Amit Erdős és Kac bizonyít, az az, hogy ha n egy tetszőlegesen kiválasztott nagy egész, akkor n egymástól különböző prímtényezőinek száma közelítően normális eloszlású lesz, log log N variancia és várható értékkel. Ez azt jelenti, hogy például egy milliárd nagyságrendű szám felépíthető átlagosan 3 prímszámból. Például: Sablon:Szám = 23 × 307 × Sablon:Szám.

n	n számjegyeinek száma	Prímszámok átlagos száma	szórás
1000	4	2	1,4
Sablon:Szám	10	3	1,7
Sablon:Szám	25	4	2
1065	66	5	2,2
109566	9567	10	3,2
10Sablon:Szám	Sablon:Szám	20	4,5
101022	1022+1	50	7,1
101044	1044+1	100	10
1010434	10434+1	1000	31,6

A Sablon:Szám számjegyből álló számok kb. 12,6%-a 10 prímből felépíthető, és 68% (±σ) 7–13 prímből. Egy 186 számjegyből álló szám átlagosan 6 prímből felépíthető.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/Erdos-KacTheorem.html
• http://www.renyi.hu/~p_erdos/1940-12.pdf
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika