Dirichlet-féle magfüggvény

A Dirichlet-féle magfüggvény a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet által vizsgált függvénysorozatok egyike. Az analízisben, közelebbről a Fourier-sorok elméletében alkalmazzák.

Dirichlet 1829-ben bizonyította egy periodikus, szakaszonként folytonos és szakaszonként monoton függvény Fourier-sorának konvergenciáját. Ezt a témát még Leonhard Euler vetette fel, és Dirichlet bizonyítása volt az első.

A Dirichlet által talált sorozat fontos szerephez jut ebben a bizonyításban, ahol magfüggvényként szerepel. Ezért nevezik Dirichlet-féle magfüggvénynek.

Definíció

Dirichlet-féle magfüggvénynek nevezik a

$D_n(x)=\sum _{k=-n}^n{e}^{ikx}=1+2\sum _{k=1}^n\cos (kx)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}.$

függvénysorozatot.

Jelentése összefügg a Fourier-sorokkal. A Fourier-sor n-edik közelítő tagja a D_n(x) és az f 2π szerint periodikus függvény konvolúciója.

Példa:

$(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(y)D_n(x-y)dy=\sum _{k=-n}^n\hat{f}(k)e^{ikx},$

ahol

$\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-ikx}dx$

f k-adik Fourier-együtthatója.

Ebből következik, hogy a Fourier-sorok konvergenciájának vizsgálatához elegendő a Dirichlet-féle magfüggvény tulajdonságait tanulmányozni. D_n L¹-normája logaritmikusan tart $\mathrm{\infty }$-be, ha $n\to \mathrm{\infty }$, így vannak folytonos függvények, amik nem állíthatók elő Fourier-sorokkal. Ugyanis

$\int |D_n(t)|dt=\frac{4}{{\pi }^2}\log n+𝒪(1)$

ahol $𝒪$ a Landau-féle ordo jelölés.

Kapcsolat a delta-disztribúcióval

A periodikus delta-disztribúció egységelem a 2π szerint periodikus függvények konvolúciócsoportjában:

$f*(2\pi \delta )=f$

minden 2π szerint periodikus f függvényre.

A Fourier-sort a következő „függvény” reprezentálja:

$2\pi \delta (x)\sim \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{ikx}=(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (kx)).$

A trigonometrikus azonosság bizonyítása

Adott $2\pi$ szerint periodikus $f(x)$ függvény Fourier-sora konvergenciájának a vizsgálatához a sor

$s_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$

részletösszegeit kell tekintenünk. Ezek vizsgálatát az teszi "kényelmesebbé", hogy zárt alakban, az ún. Dirichlet-féle formulával is kifejezhetők. Vizsgáljuk $s_n(x)$-et:

$s_n(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)dt+\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^n[\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\cos ktdt\cdot \cos kx+\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\sin ktdt\cdot \sin kx]=$

$=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n(\cos kt\cdot \cos kx+\sin kt\cdot \sin kx)]dt=$

$=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n\cos k(x-t)]dt=\frac{1}{\pi }\underset{x-\pi }{\overset{x+\pi }{\int }}f(x-y)D_n(y)dy=$

$=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-t)D_n(t)dt$,

ahol

$D_n(t)=\frac{1}{2}+\cos t+\cos 2t+\cdots +cosnt$

az ún. n-edik Dirichlet-féle magfüggvény.

Mivel

$D_n(t)\cdot \sin \frac{t}{2}=\frac{1}{2}\{\sin \frac{t}{2}+[\sin (1+\frac{1}{2})t-\sin (1-\frac{1}{2})t]+\cdots +[\sin (n+\frac{1}{2})t-\sin (n-\frac{1}{2})t]\}=\frac{1}{2}\sin (n+\frac{1}{2})t$,

ezért a Dirichlet-féle magfüggvényre a következő egyszerű kifejezést kapjuk:

$D_n(t)=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{1}{2}t}$

A $D_n(t)$ függvény nyilván páros, és így

$D_n(t)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-t)D_n(t)dt=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}[f(x-t)+f(x+t)]D_n(t)dt.$

A Dirichlet-féle magfüggvény tagonkénti integrálásával kapjuk:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{D}_n(t)dt=\frac{\pi }{2}$

Az előző 2 egyenlőség alapján:

$s_n(x)-c=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}[f(x-t)+f(x+t)-2c]D_n(t)dt;$

speciálisan:

$s_n(x)-f(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\phi }_x(t)D_n(t)dt,$

ahol

${\phi }_x(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x).$

A fenti képleteket Dirichlet-féle képleteknek nevezzük. Fontos még megemlíteni a Dirichlet-függvény következő tulajdonságát: Ha $\delta \le \pi$ tetszés szerinti kis pozitív szám, akkor

$\underset{\delta }{\overset{\pi }{\int }}{D}_n(t)dt\to 0$, $(n\to \mathrm{\infty }).$

Források

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. kiadás, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
• Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, Sablon:ISBN, S.620 (teljes verzió (Google Books))