Dini-derivált

Sablon:Nincs forrás A matematika tudományában, közelebbről a matematikai analízisben, az alsó és felső Dini-derivált a derivált fogalmának kiterjesztése nem feltétlenül differenciálható, de az analízis szempontjából értelmezhető tulajdonságú, például folytonos vagy Lipschitz-tulajdonságú függvények esetén.

Definíció

Ha f valós-valós függvény, akkor a Dini-féle felső deriválton az értelmezési tartomány egy x pontja esetén a következőket értjük:

$f{\text{'}}_{+}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\sup \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

itt a limesz szuperior a következő függvénytani értelmben értendő:

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sup \{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}:h\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\cap B(0;\epsilon )\}$

ahol Dom( f ) az f függvény értelmezési tartományát jelöli.

Másrészt a Dini-féle alsó derivált az értelmezési tartomány egy x pontjában:

$f{\text{'}}_{-}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\inf \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ahol a limesz inferior a következő:

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\inf \{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}:h\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\cap B(0;\epsilon )\}$

Megjegyzések

Természetesen, ahogy a derivált sem, ugyanúgy a Dini-derivált sem feltétlenül létezik, illetve véges. Ahol a függvény differenciálható, ott a hagyományos derivált és a Dini-deriváltak egyenlők.

Ha f lokálisan Lipschitz-tulajdonságú, akkor a Dini-deriváltak léteznek, és végesek. Ha ezen kívül f értelmezési tartománya kompakt, vagy f Lipschitz-tulajdonságú, akkor a Dini-derivált korlátos.

Példa az alkalmazásukra

Ez a deriváltfajta lényeges szerepet kap a Riemann-integrálhatóság elméletében. Például a határozott Riemann-integrál helyettesítési tételének érvényes egy olyan változata, amikor az érdeklődésünk homlokterében a transzformáló G függvény áll. Ha tehát feltesszük, hogy a lipschitzes G függvény a korlátos és zárt [a,b] intervallumot az ugyanilyen [α,β] intervallumba képezi olymódon, hogy G majdnem mindenhol erősen differenciálható és majdnem mindenhol injektív, akkor tetszőleges [α,β]-n Riemann-integrálható f esetén fennáll a következő integráltranszformációs tétel:

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f\circ G)\cdot g$

ahol a g függvény a G felső Dini-deriváltja.