Diffúziós egyenlet

A diffúziós egyenlet az anyagban végbemenő diffúziós folyamat dinamikai sűrűségét leíró parciális differenciálegyenlet. A diffúziós egyenlet a diffúziószerű viselkedés leírására – például az allélek diffúziója a populációgenetikában – is használható.

Képlet

$\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot [D(\varphi ,𝐫)\mathrm{\nabla }\varphi (𝐫,t)],$

ahol ϕ(r, t), az r helyen lévő anyag sűrűsége, t , az idő, és D(ϕ, r) a együttes diffúziós együttható az r helyen lévő ϕ sűrűségnél, és ∇ reprezentálja a vektor differenciáloperátort. Ha a diffúziós együttható függ a sűrűségtől, akkor az egyenlet nemlineáris, máskülönben lineáris. Még általánosabban, ha D szimmetrikus pozitív definit mátrix, akkor az egyenlet anizotróp (lásd izotrópia) diffúziót ír le, melynek képlete (háromdimenziós diffúzió):

$\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial t}=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\frac{\partial }{\partial x_i}[D_{ij}(\varphi ,𝐫)\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial x_j}]$

Ha D konstans, akkor az egyenlet a következő lineáris differenciálegyenletté egyszerűsödik: $\frac{\partial \varphi (𝐫,t)}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2\varphi (𝐫,t),$ melyet hőegyenletnek is hívnak.

Történet

A diffúziós egyenlet eredete visszanyúlik az Fick-féle részecskékre vonatkozó diffúziós egyenletre, melyet Adolf Fick állított fel 1855-ben. A diffúziós egyenletnek nagyszámú analitikus megoldása ismert

Diszkretizálás

A diffúziós egyenlet mind térben, mind időben, folytonos. Lehetséges diszkretizálni térben és időben vagy külön-külön, az alkalmazástól függően. A diszkretizálásra akkor van főleg szükség, ha digitális számítógépen történik a további felhasználás. A diszkretizáláskor időszeletekre bontjuk a folytonos függvényt, mely nem befolyásolja a jelenséget. Ha csak a térben történik a diszkretizálás, akkor a diszkrét Gauss-kernel alkalmazható. Ha térben és időben egyszerre diszkretizálunk, akkor a véletlenszerű mozgás (bolyongás) módszere használható.

Kapcsolódó szócikkek

• Hőegyenlet
• Differenciálegyenlet
• Adolf Fick
• Fick-törvény
• Populációgenetika

További információk

• Sablon:CitLib
• Ghez, R: Diffusion Phenomena. Long Island, NY, USA: Dover Publication Inc. 2001.
• Thambynayagam, R.K.M: The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. New York: McGraw-Hill. 2011.
• Bennett, T.D: Transport by Advection and Diffusion. John Wiley & Sons. 2013.
• Gillespie, D.T.; Seitaridou, E: Simple Brownian Diffusion. Oxford University Press. 2013.
• Vogel, G: Adventure Diffusion. Springer. 2019.
• Newman, J and Battaglia J: The Newman Lectures on Transport Phenomena. New York: Jenny Stanford Publishing
• Sablon:CitLib