Descartes-féle levél

Descartes-féle levél

A Descartes-féle levél egy algebrai görbe, melyet az alábbi egyenlet definiál:

$x^3+y^3-3axy=0$.

A 3a paraméter az ábrán sárga egyenesekkel berajzolt négyzet átlójának hossza. A görbe hurkot képez a derékszögű koordináta-rendszer első térnegyedében kettős ponttal az origóban és aszimptotával, melynek egyenlete:

$x+y+a=0$,

(az ábrán piros egyenes). A görbe szimmetrikus az $y=x$ egyenesre.

Egyenletei

Polárkoordinátás egyenlete:

$\rho =\frac{3a\cos \phi \sin \phi }{{\cos }^3\phi +{\sin }^3\phi }$.

Paraméteres egyenletrendszere derékszögű koordináta-rendszerben:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}\end{array}$, ahol $t=\mathrm{tg}\phi$.

Gyakran vizsgálják a $135^{\circ }$-os szöggel elforgatott alakját. Ennek egyenlete derékszögű koordináta-rendszerben:

$y=\pm x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, ahol $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

Paraméteres egyenletrendszerrel:

$x=l\frac{t^2-1}{3t^2+1},y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$,

és polárkoordinátákkal:

$\rho =\frac{l({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )}{\cos \phi ({\cos }^2\phi +3{\sin }^2\phi )}$

Tulajdonságai

Az aszimptota egyenlete:

$x+y+a=0$.

A levél területe:

$T_1=\frac{3a^2}{2}$

A görbe és az aszimptota közti terület:

$T_2=T_1=\frac{3a^2}{2}$

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Sablon:ISBN
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.