Cent (zene)

A cent (rövidítve C) az exponenciális tulajdonságú frekvenciaviszonyok illetve zenei intervallumok logaritmikus skálában való lineáris kezelését lehetővé tévő mértékegység, melyet elsősorban a különféle temperálások és a bennük megalkotható hangközök összevetésére használnak. Az oktáv 1200 centből áll, a kiegyenlített hangolásban pedig 100 cent ad ki egy temperált félhangot (innen származik a mértékegység neve).

Előnye

A hang fizikai tulajdonságai közül a frekvencia a fül számára a legfontosabb, mivel ezt érzékeli hangmagasságként. Kétszeres frekvencia vagy rezgésszám egy oktávval magasabb hangot jelent, például a 440 Hz-es kamara A fölött egy oktávval levő A hang frekvenciája 2 × 440 = 880 Hz. A hangmagasság tehát exponenciális skálájú, vagyis a hányados adja meg azt, milyen viszonyban van egymással két hang.

Mivel azonban az összeadás és kivonás lényegesen egyszerűbb művelet a szorzásnál és osztásnál, s a tényleges frekvenciák csak kivételesen lehetnek érdekesek, hiszen legtöbbször a viszonyok meghatározására van csupán szükségünk, így célszerű az eredetileg exponenciális skálát logaritmikusan linearizálni, majd ezen elvégezni a kívánt műveleteket, azaz összeadások és kivonások segítségével egymáshoz hasonlítani az egyes hangokat: ezen linearizálást teszi lehetővé a cent mértékegység alkalmazása. Használatával az oktáv 2:1 arányát 1200 fokú lineáris skálává alakítjuk, amiben immár a számtani különbségek adják meg a hangközviszonyokat.

Képletek

Átváltás

Q-ról C-re

A gyakorlatban általában arra van szükség, hogy frekvenciaviszonyokat (Q_fr) váltsunk át centre (C), amihez az alábbi képletek valamelyike használható:

$C=1200\cdot {\log }_2{Q}_{fr}=1200\cdot \frac{{\log }_{10}{Q}_{fr}}{{\log }_{10}2}\approx 3986,314\cdot {\log }_{10}{Q}_{fr}$

Például a tiszta nagyterc (viszonyszám 5/4) centértéke:

$C=1200\cdot {\log }_2\left(\frac{5}{4}\right)=1200\cdot \frac{{\log }_{10}1,25}{{\log }_{10}2}\approx 386,314$

C-ről Q-ra

A fordított átalakításhoz, vagyis a centérték frekvenciaviszonyra való átszámításához a következő képlet alkalmazható:

$Q_{fr}={\left(\sqrt[1200]{2}\right)}^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^{\frac{C}{1200}}$

Például az előbb kapott centérték visszahelyettesítve:

$Q_{fr}={\left(\sqrt[1200]{2}\right)}^{386,314}=\sqrt[1200]{2^{386,314}}=2^{\frac{386,314}{1200}}\approx 1,25=\frac{5}{4}$

Levezetés

A feladat az oktáv adott számú egyenlő részre osztása úgy, hogy a fül minden egyes lépést azonos magasságkülönbségnek érezzen. Mivel a frekvencia exponenciálisan nő, miközben a magasságkülönbség-érzet azonos marad, így a feladatunk megoldásához minden lépésnek ugyanazon arányban kell állnia az előzővel, vagyis a részeknek mértani sorozatot kell alkotniuk.

Először – az egyszerűség kedvéért – 5 oktávnyi skálát (viszonyszám 1:32) osszunk fel 5 egyenlő részre, vagyis alkossuk meg azon hattagú skálát, amelynek az eleje 1, vége 32, s minden eleme egyenlő arányban van az előzőhöz képest, azaz amelyik skála mértani sorozat.

A mértani sorozat n. tagjának (a_n) értéke:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, ahol a₁ az első elem, q pedig a hányados.

Most a q értékét akarjuk meghatározni, ezért a képletet átrendezzük:

$q=\sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}$

Jelen esetben n=6, a₁=1, a₆=32, vagyis:

$q=\sqrt[5]{32}=2$

A kapott mértani sorozat tehát:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Ha 1 oktávot (1:2), akarunk felosztani n részre, akkor a képletünk:

$q=\sqrt[n]{2}$

A cent a definíció szerint az oktáv 1200-ad része, vagyis:

$1\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}=\sqrt[1200]{2}=2^{\frac{1}{1200}}$

illetve:

$n\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}={\left(\sqrt[1200]{2}\right)}^n=\sqrt[1200]{2^n}=2^{\frac{n}{1200}}$

frekvenciaviszonyban kifejezve, azaz:

$Q_{fr}={\left(\sqrt[1200]{2}\right)}^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^{\frac{C}{1200}}$

Ebből a hatványozás és a logaritmus összefüggését felhasználva:

${\log }_2{Q}_{fr}=\frac{C}{1200}$

vagyis

$C=1200\cdot {\log }_2{Q}_{fr}$

Használati példák

1. példa

Számítsuk ki a tiszta hangközök centértékeit a frekvenciaarányokból!

Hangköz neve	Arányszám	Számítás	Centérték
Oktáv	$\frac{2}{1}$	$1200\cdot {\log }_2\left(\frac{2}{1}\right)$	1200
Kvint	$\frac{3}{2}$	$1200\cdot {\log }_2\left(\frac{3}{2}\right)$	701,955
Kvart	$\frac{4}{3}$	$1200\cdot {\log }_2\left(\frac{4}{3}\right)$	498,045
Nagyterc	$\frac{5}{4}$	$1200\cdot {\log }_2\left(\frac{5}{4}\right)$	386,314
Kisterc	$\frac{6}{5}$	$1200\cdot {\log }_2\left(\frac{6}{5}\right)$	315,641

2. példa

Számítsuk ki a püthagoraszi és a szintonikus komma értékét centekben és frekvenciaviszonyokban!

a) Püthagoraszi komma (12 tiszta kvint és 7 oktáv különbsége):

Centekben:

$C_{pK}=12\cdot 701,955-7\cdot 1200=8423,46-8400=23,46$

Átszámítva frekvenciaviszonyra:

$Q_{pK}=2^{\frac{23,46}{1200}}\approx 1,0136432$

Frekvenciaviszonyokban számolva:

$Q_{pK}=\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^{12}}{{\left(\frac{2}{1}\right)}^7}=\frac{1,5^{12}}{2^7}\approx \frac{129,746}{128}\approx 1,0136432$

Átszámítva centre:

$C_{pK}=1200\cdot {\log }_{2}1,0136432=1200\cdot \frac{{\log }_{10}1,0136432}{{\log }_{10}2}\approx 23,46$

Láthatóan a centekben való számításkor hatványozás helyett szorzás, osztás helyett pedig kivonás szerepel, vagyis a számolás lényegesen egyszerűsödik.

b) Szintonikus komma (a püthagoraszi – 4 tiszta kvint által kiadott – és a tiszta nagyterc különbsége):

Centekben

$C_{sK}=(4\cdot 701,955-2\cdot 1200)-386,314=407,82-386,314=21,506$

Átszámítva frekvenciaviszonyra:

$Q_{sK}=2^{\frac{21,506}{1200}}\approx 1,0125$

Frekvenciaviszonyokban számolva:

$Q_{sK}=\frac{\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^4}{2^2}}{\frac{5}{4}}=\frac{\frac{81}{64}}{\frac{5}{4}}=\frac{81}{80}=1,0125$

Átszámítva centre:

$C_{sK}=1200\cdot {\log }_{2}1,0125=1200\cdot \frac{{\log }_{10}1,0125}{{\log }_{10}2}\approx 21,506$

Története

A cent használatát az angol Alexander John Ellis (1814–1890) javasolta Hermann von Helmholtz Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik (A hangérzékelés tana, mint a zeneelmélet fiziológiai alapja) című műve általa készített angol fordításának (On the Sensations of Tone – 1875) függelékében.

Érdekességként megemlíthető, hogy a zenei szisztéma, a hangjegyek lejegyzésére szolgáló rendszer is lineáris leképezése (azaz logaritmikus ábrázolása) az exponenciális hangskálának, hiszen minden oktáv, függetlenül a hangmagasságtól, azonos távolságú, illetve minden más hangköz is megtartja az állandó lineáris különbséget. Bármennyire meglepő, itt már tudatos linearizálásról kell beszélnünk, még ha az első szisztémák a középkor elején is készültek: ugyanis a hangközviszonyok exponenciális természete Püthagorasz munkái nyomán már kezdettől fogva ismert volt, s a gitár- illetve lantbundok megalkotásához – amelyek szép példái a logaritmikus skálának – szükség volt ezen hosszviszonyok világos ismeretére, vagyis a tabulatúrák és lejegyzések tudatosan szakítottak a természetes ábrázolással az áttekinthetőség kedvéért.