Cauchy-féle ismétlődő integrálás

Cauchy-féle ismétlődő integrálás lehetővé teszi egy függvény n antideriváltjának komprimálást egy integrálba. (vö. Cauchy-féle integráltétel)

Skaláris eset

Legyen ƒ egy folytonos függvény a valós síkon. Akkor az ƒ függvény n-ik ismétlődő integrálja a alapon:

$f^{(-n)}(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)d{\sigma }_n\cdots d{\sigma }_{2}d{\sigma }_1$,

egyszerű integrálással:

$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)dt$.

A bizonyítás a teljes indukcióval: Mivel ƒ folytonos, az integrálás alapjának figyelembe vételével

$\frac{d}{dx}{f}^{(-1)}(x)=\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=f(x)$

és így

$f^{(-1)}(a)=\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)dt=0$.

Most feltételezzük: ez igaz n-re; n+1-re bizonyítandó, alkalmazzuk a láncszabályt. tekintsük a következő függvényt:

$g(x_1,x_2)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}(x_2-t{)}^{n}f(t)dt$;

akkor :

$\frac{\partial }{\partial x_1}g(x_1,x_2)=\frac{1}{n!}(x_2-x_1{)}^{n}f(x_1)$

és alkalmazva a “differenciálást integrálás jel alatt” módszert, kapjuk:

$\frac{\partial }{\partial x_2}g(x_1,x_2)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}(x_2-t{)}^{n-1}f(t)dt$.

így:

$\frac{d}{dx}{f}^{(-(n+1))}(x)=$

${(\frac{\partial }{\partial x_1}g(x_1,x_2)+\frac{\partial }{\partial x_2}g(x_1,x_2))|}_{x_1=x=x_2}=$

$\frac{1}{n!}(x-x{)}^{n}f(x)+\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)dt=$

$0+f^{(-n)}(x)=$

$f^{(-n)}(x).$

továbbá

$f^{-(n+1)}(a)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{a}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)dt=0$.

Ezért, ƒ függvény n-ik antideriváltja ƒ^(-n), és ƒ^(-k)(a)=0, az összes k-ra 1-től n-ig, megmutatva, hogy ƒ^(-n)(x) egyenlő az eredeti ismételt integrállal.

Alkalmazások

A frakcionális számolásban, ez a formula használható a differintegrál fogalomhoz, lehetővé téve a differenciálást vagy az integrálást.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• http://nrich.maths.org/1369
• Cauchy-féle integráltétel
• Frakcionális számolás
• Riemann-integrálás
• Teljes indukció
• Láncszabály
• Antiderivált