Brun-tétel

A Brun-konstans megközelítése.

Brun tétele, miszerint az ikerprímek (olyan prímpár, melyek különbsége 2) reciprokösszege egy Brun-konstans néven ismert (B₂-tal jelölt) véges értékhez konvergál. A tételt Viggo Brun bizonyította be 1919-ben, és jelentős fontossággal bír a szitaeljárások terén.

Aszimptotikus korlátok az ikerprímekre

Az ikerprímek reciprokösszegének konvergenciája az ikerprímek sorozatának sűrűségéből következik.

Jelölje ${\pi }_2(x)$ az olyan p ≤ x prímek számát, melyre p + 2 is prím (azaz ${\pi }_2(x)$ a legfeljebb x értékű ikerprímek száma). Ekkor x ≥ 3 esetén:

${\pi }_2(x)=O\left(\frac{x(\log \log x{)}^2}{(\log x{)}^2}\right).$

Így az ikerprímek a prímeknél kevésbé (majdnem egy logaritmikus taggal) sűrűek. Ebből a korlátból következik, miszerint az ikerprímek reciprokösszege konvergens. Magyarán a

$\sum _{p:p+2\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots$

összeg vagy véges sok tagot tartalmaz, vagy pedig ugyan végtelen, de konvergens, értéke pedig a Brun-konstans.

A tényből, hogy a prímek reciprokösszege divergens, következik, hogy a prímek száma végtelen. Viszont abból, hogy az ikerprímeké konvergens, nem vonható le következtetés az ikerprímek számának végességéről/végtelenségéről. A Brun-konstans akkor lehet irracionális, ha végtelen sok ikerprím van.

Becslések

Az ikerprímek 10¹⁴-ig történő kiszámolása alapján (és mindeközben a Pentium FDIV bug felfedezésével) Thomas R. Nicely a Brun-konstans értékét 1,902160578-re becsülte. Később, 2010 januárjára 1,6·10¹⁵-ig számolta ki az értékét, ám ez nem a legnagyobb, ugyanis 2002-ben Pascal Sebah és Partich Demiched 10¹⁶-ig történő számolással a B₂≈1,902160583104 értéket becsülte, a 10¹⁶-ig levő 1,830484424658 érték extrapolálásával. Dominic Klyve pedig bebizonyította, hogy ha a bővített Riemann-sejtés igaz, akkor B<2,1754.

A Brun-konstans jegyeit használták egy Sablon:Szám dolláros ajánlatban a Nortel szabványainak aukcióján. Ezt a Google licitálta, és egyike volt a három, matematikai konstans alapú licitjének.

Létezik egy Brun-konstans prímnégyesekre is. A prímnégyes két ikerprím-párosból áll, amelyek között 4 (a lehető legkisebb) a különbség. Az első néhány prímnégyes: (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). A prímnégyeseken értett Brun-konstans, aminek jelölése B₄, az összes prímnégyes reciprokösszegével egyezik meg:

$B_4=(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109})+\cdots$

melynek értéke:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Ez a konstans nem összetévesztendő a prím unokatestvérekre számolt Brun-konstanssal, ami a (p, p + 4) alakban megadható prím-párosok reciprokösszege, és szintén B₄-nek jelölik.

Fordítás

• Sablon:Fordítás