Borsuk–Ulam-tétel

A Borsuk–Ulam-tétel azt állítja, hogy minden ${𝕊}^n$-t ${ℝ}^n$-be képező folytonos vektormezőhöz van két átellenes pont, amit a vektormező ugyanarra a vektorra képez. Stanisław Ulam sejtését Karol Borsuk látta be 1933-ban.

Speciálisan, az n=2 esetét is nevezik Borsuk–Ulam-tételnek. Ezt az esetet azzal szokás szemléltetni, hogy mindig van a Földön két átellenes pont, ahol a hőmérséklet és a légnyomás is megegyezik.

Következményei

• ${𝕊}^n$ nem képezhető le homeomorf módon ${ℝ}^n$ egy részhalmazába sem.
• A sonkásszendvicstétel: adva legyen ${ℝ}^n$-ben n test, amik minden irányban elfelezhetők hipersíkkal. Ekkor van egy hipersík, ami mindegyiket felezi.
• Lusternik–Schnirelmann-tétel: akárhogy is fedjük le ${𝕊}^n$-t n+1 nyílt halmazzal, mindig lesz köztük olyan, ami tartalmaz átellenes pontpárokat.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, hogy egy f(v) függvényre nem igaz a tétel, tehát előállítható a $\mathrm{g}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}=\frac{\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}-\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{x}\mathrm{)}}{||\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}-\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{-}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{|}\mathrm{|}}$ egységvektormező. Ez egy páratlan függvény. Kiterjed a peremre, ezért körülfordulási száma nulla, de mivel páratlan, ezért a körülfordulási száma sem lehet páros, ez pedig ellentmondás.

Források

• Szűcs András: Topológia