Borel–Kolmogorov-paradoxon

A valószínűségszámításban a Borel–Kolmogorov-paradoxon egy nulla valószínűségű halmazra vett feltételes valószínűségre vonatkozó paradoxon. Émile Borel és Andrej Kolmogorov után nevezték el.

Példa

Legyen egy eloszlás egyenletes egy gömbön. Mekkora a feltételes valószínűsége egy főkörre vonatkozólag?

A szimmetria miatt intuitívan adódik, hogy az eloszlás itt is szimmetrikus lesz, azonban két más elemzés ennek ellentmond.

Az elemzés szerint a pont kiválasztása megfelel annak, hogy kiválasztunk egy szélességet és egy hosszúságot. A φ szélességet a [-π/2,π/2] intervallumból választja $\frac{1}{2}\cos \varphi$ sűrűséggel, a λ hosszúságot egyenletes valószínűséggel [−π,π]-ből.

Ekkor az egyenlítőn, azaz az φ = 0 által meghatározott főkörön a λ szélesség függvényében a [−π,π] intervallumon

$f(\lambda \mid \varphi =0)=\frac{1}{2\pi }.$

A λ = 0 által meghatározott hosszúsági körön φ függvényében a [−π/2,π/2] intervallumon

$f(\varphi \mid \lambda =0)=\frac{1}{2}\cos \varphi .$

Az egyik eloszlás egyenletes, a másik nem, habár mindkettő ugyanarra a főkörre vonatkozik, de más koordináta-rendszerben.

A valószínűségszámítással foglalkozó matematikusok különféle érveket hoztak fel, hogy melyik eredmény a helyes.

Magyarázata

Az első esetben annak a feltételes valószínűsége, hogy a λ hosszúság az E halmazban van, ha Sablon:Nowrap írható úgy, hogy P(λ ∈ E | φ = 0). Az elemi valószínűség­számítás szerint a Sablon:Nowrap és Sablon:Nowrap képletet lehetne használni, azonban ez nem jóldefiniált, mivel Sablon:Nowrap A mértékelmélet az Sablon:Nowrap} eseménycsaládot ajánlja, ami vízszintes gyűrűkből áll az a és b pontok között.

A második esetben a P(φ ∈ F | λ=0) valószínűséget az L_ab = {λ : a < λ < b} események definiálják, amelyek gömbi kétszögek, és azokból a pontokból állnak, amelyek hosszúsága a és b közötti. Így, habár P(λ ∈ E | φ=0) és P(φ ∈ F | λ=0) mindegyike valószínűség­eloszlást definiál, egyiket gömbövek, másikat kétszögek segítségével. Nem meglepő, hogy P(λ ∈ E | φ=0) és P(φ ∈ F | λ=0) eloszlása különböző.

A gömb felosztásának bevezetését Kolmogorov javasolta, és a kört a felosztás részének tekintette. Jaynes szerint a nagykör fogalma nem egyértelmű határoló művelet nélkül. A szimmetriára való hivatkozás az egyenlítőt feltételezi, de a narancsevés a másodikat juttatja előnyhöz.

Jaynes határoló műveletének természetes választása a távolságmérésen alapul. Például a szokásos euklideszi távolságot választva egyenletes eloszlást kapunk a főkörökön. Ha azonban egy másik jelölést választunk, akkor az eredmény a $\cos \varphi /2$ eloszlás. Általában, ha definiálva van a távolság, a feltételes eloszlás választása a feltételes eloszlás természetes választása a megfelelő Hausdorff-tér szerint értelmezhető.

Matematikai kifejtés

A probléma megértéséhez azt kell figyelembe venni, hogy egy sűrűség­függvénnyel bíró véletlen változót a sűrűség­függvény csak egy μ mérték szerint jellemez. Az eloszlás leírásához mindkettőre szükség van. Ekvivalensen, lehet teljesen definiálni a teret és az f sűrűségfüggvényt is.

Legyen Φ és Λ valószínűségi változó, értékeiket pedig vegyék fel rendre az Ω₁ = [-π/2,π/2] illetve az Ω₂ = [-π,π] intervallumokból. Egy {Φ=φ,Λ=λ} esemény az S(r) r sugarú gömbön kijelöl egy pontot. Definiáljuk az

$x=r\cos \varphi \cos \lambda$

$y=r\cos \varphi \sin \lambda$

$z=r\sin \varphi$

koordináta­transzformációt. Ezzel kapjuk az

${\omega }_r(\varphi ,\lambda )=\left||\frac{\partial (x,y,z)}{\partial \varphi }\times \frac{\partial (x,y,z)}{\partial \lambda }|\right|=r^2\cos \varphi$ térfogatelemet. Továbbá, ha φ és λ valamelyike rögzített, az

${\omega }_r(\lambda )=\left|\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial \varphi }\right|\right|=r,\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{v}\mathrm{e}$

${\omega }_r(\varphi )=\left|\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial \lambda }\right|\right|=r\cos \varphi$

térfogat­elemeket kapjuk.

Jelölje ${\mu }_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}(d\varphi ,d\lambda )=f_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}(\varphi ,\lambda ){\omega }_r(\varphi ,\lambda )d\varphi d\lambda$ a $ℬ({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2)$ szorzatmértéket, melynek sűrűsége $f_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}$ az ${\omega }_r(\varphi ,\lambda )d\varphi d\lambda$ szerint, és legyen :${\mu }_{\mathrm{\Phi }}(d\varphi )=\underset{\lambda \in {\mathrm{\Omega }}_2}{\int }{\mu }_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}(d\varphi ,d\lambda ),$

${\mu }_{\mathrm{\Lambda }}(d\lambda )=\underset{\varphi \in {\mathrm{\Omega }}_1}{\int }{\mu }_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}(d\varphi ,d\lambda ).$

Ha feltesszük, hogy $f_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}$ egyenletes, akkor

${\mu }_{\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Lambda }}(d\varphi |\lambda )=\frac{{\mu }_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}(d\varphi ,d\lambda )}{{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}(d\lambda )}=\frac{1}{2r}{\omega }_r(\varphi )d\varphi ,\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$

${\mu }_{\mathrm{\Lambda }|\mathrm{\Phi }}(d\lambda |\varphi )=\frac{{\mu }_{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Lambda }}(d\varphi ,d\lambda )}{{\mu }_{\mathrm{\Phi }}(d\varphi )}=\frac{1}{2r\pi }{\omega }_r(\lambda )d\lambda .$

Így ${\mu }_{\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Lambda }}$ egyenletes eloszlású az ${\omega }_r(\varphi )d\varphi$ szerint, de nem egyenletes a Lebesgue-mérték szerint. Másrészt ${\mu }_{\mathrm{\Lambda }|\mathrm{\Phi }}$ sűrűség­függvénye egyenletes ${\omega }_r(\lambda )d\lambda$ és a Lebesgue-mérték szerint is.

Források

• Sablon:Cite book
  • Fragmentary Edition (1994) (pp. 1514–1517) (PostScript format)
• Sablon:Cite book
  • Translation: Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

• Mosegaard, K., & Tarantola, A. (2002). 16 Probabilistic approach to inverse problems. International Geophysics, 81, 237-265.