Basel-probléma

A matematikában a Basel-probléma az analízis egy híres problémája, melyet Pietro Mengoli (1626–1686) olasz matematikus vetett fel 1644-ben, és Leonhard Euler (1707–1786) svájci matematikus oldott meg először 1735-ben. A problémát Euler általánosította, és az ötlet alapján Bernhard Riemann (1826–1866) német matematikus definiálta a zéta-függvényt (Riemann-féle zéta-függvény), és levezette alapvető tulajdonságait.

A problémát azért hívják „Basel”-nek, mert első megoldója, Euler, itt született, valamint a nevezetes Bernoulli család is innen származik, akik nem tudtak megbirkózni ezzel a problémával. Az alapvető kérdés az volt, hogy vajon a

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

kifejezés konvergens, és ha igen, akkor mi az értéke?

Ha sorbafejtjük, akkor a

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2})$

végtelen sort kapjuk a természetes számok négyzetei reciprokainak összegére, melynek közelítő értéke: 1,644934.

A Basel-probléma azt kérdezi, hogy létezik-e egy zárt formula a kifejezésre, és mennyi az egzakt érték. Euler megtalálta a pontos értéket: $\frac{{\pi }^2}{6}$, és levezette az eredményt 1735-ben. A szigorúan precíz bizonyítást 1741-ben publikálta. Utána még számos matematikus foglalkozott a témával, és produkált különféle bizonyításokat.

Euler megoldása

Euler eredeti levezetése igazolást igényelt. Ez meg is történt 100 évvel később, amikor Weierstrass bebizonyította Euler levezetését (Weierstrass-féle faktorizációs tétel).

Kövessük Euler gondolatmenetét: A szinusz függvény Taylor-sora:

$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots .$

x-szel elosztva mindkét oldalt:

$\frac{\sin (x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots .$

A sin(x)/x (sinc-függvény) az x tengely metszésénél $x=n\cdot \pi$ ahol $n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots .$ Tegyük fel, hogy ezt a végtelen sort ki tudjuk fejezni lineáris tényezők szorzataként, figyelembe véve x zéró helyeit, ahogy véges polinomok esetén tesszük:

$\begin{array}{cc}\frac{\sin (x)}{x}& =(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots .\end{array}$

Ha kiszorozzuk és felírjuk az x² tényezőket, akkor a sin(x)/x x²-es tényezőire kapjuk:

$-(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\cdots )=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

mivel az eredeti végtelen sorban az x² együtthatója: -1/(3!) = -1/6, a két együtthatónak egyenlőnek kell lenni, és így:

$-\frac{1}{6}=-\frac{1}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Mindkét oldalt megszorozva $-{\pi }^2$-tel, kapjuk a végeredményt

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Számelmélet
• https://web.archive.org/web/20071027221932/http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Matematikai statisztika