Spouge-formula

A Spouge-formula egy közelítő képlet a Gamma-függvényre, amit John L. Spouge fejlesztett ki. Tulajdonképpen a Stirling-formula egy javított változata:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=(z+a{)}^{z+1/2}{e}^{-(z+a)}[c_0+\sum _{k=1}^{a-1}\frac{c_k}{z+k}+{ϵ}_a(z)]$

ahol a egy megfelelően választott pozitív egész. Az együtthatók a következőképpen számíthatóak:

$c_0=\sqrt{2\pi }$

$c_k=\frac{(-1{)}^{k-1}}{(k-1)!}(-k+a{)}^{k-1/2}{e}^{-k+a}k=1,2,\dots ,a-1.$

Spouge bizonyította, hogy ha Re(z) > 0 és a > 2, a relatív hiba a következőképpen becsülhető

$|{ϵ}_a(z)|\le a^{-1/2}(2\pi {)}^{-(a+1/2)}.$

A képlet hasonló, mint a Lánczos-formula, de vannak előnyei vele szemben. A Lánczos-formula gyorsabban konvergál ugyan, de a Spouge-féle együtthatók kiszámítása sokkal egyszerűbb, és a relatív hiba tetszőleges kicsinnyé tehető. A képlet tehát alkalmas a Gamma-függvény értékeinek tetszőleges pontosságú meghatározására.

Források

• Spouge, John L. "Computation of the gamma, digamma, and trigamma functions", SIAM Journal on Numerical Analysis 31 (1994), no. 3, 931-944.