Szórás (valószínűségszámítás)

Sablon:Egyért3 A szórás a valószínűségszámításban az eloszlásokat jellemző szóródási mérőszám. A szórás egy valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való eltérésének a mértéke.

Az $X$ valószínűségi változó szórását az

$𝐃(X)=\sqrt{𝐄((X-𝐄(X){)}^2)}$

képlet adja meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol $𝐄$ a várható értéket jelöli.

Az $X$ valószínűségi változó szórásának jelölésére a szakirodalomban a következő konvenciók léteznek:

$𝐃(X),𝐃X,D(X),𝐃X.$

A szórás négyzetét olyan gyakran használják a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában, hogy önálló fogalomként, mint szórásnégyzet vagy variancia is szoktak rá utalni.

Az $X$ valószínűségi változó szórásnégyzete az $X$ második centrális momentuma.

A szórás néhány fontosabb tulajdonsága

• Az $X$ valószínűségi változónak pontosan akkor létezik szórása, ha $X^2$-nek létezik várható értéke, s ebben az esetben

$\begin{array}{cc}𝐃(X)& =\sqrt{{𝐃}^2(X)}=\sqrt{𝐕(X)}=\\ & =\sqrt{𝐄((X-𝐄(X){)}^2)}=\sqrt{𝐄(X^2-2X𝐄(X)+{𝐄}^2(X))}=\\ & =\sqrt{𝐄(X^2)-2𝐄(X)𝐄(X)+{𝐄}^2(X)}=\sqrt{𝐄(X^2)-2{𝐄}^2(X)+{𝐄}^2(X)}=\\ & =\sqrt{𝐄(X^2)-{𝐄}^2(X)}\end{array}$

• Tetszőleges $a,b\in 𝐑$ esetén

$\begin{array}{cc}𝐃(aX)& =\sqrt{𝐕(aX)}=\sqrt{𝐄((aX{)}^2)-{𝐄}^2(aX)}=\sqrt{𝐄(a^2{X}^2)-{(𝐄(aX))}^2}=\\ & =\sqrt{a^2𝐄(X^2)-{(a𝐄(X))}^2}=\sqrt{a^2𝐄(X^2)-a^2{𝐄}^2(X)}=\\ & =\sqrt{a^2(𝐄(X^2)-{𝐄}^2(X))}=\sqrt{a^2𝐕(X)}=\\ & =|a|𝐃(X),\end{array}$

$\begin{array}{cc}𝐃(X+b)& =\sqrt{𝐕(X+b)}=\sqrt{𝐄((X+b{)}^2)-{(𝐄(X+b))}^2}=\\ & =\sqrt{𝐄(X^2+2bX+b^2)-{(𝐄(X)+b)}^2}=\sqrt{(𝐄(X^2)+2b𝐄(X)+b^2)-({𝐄}^2(X)+2b𝐄(X)+b^2)}=\\ & =\sqrt{𝐄(X^2)+2b𝐄(X)+b^2-{𝐄}^2(X)-2b𝐄(X)-b^2}=\\ & =\sqrt{𝐄(X^2)-{𝐄}^2(X)}=\\ & =𝐃(X).\end{array}$

• Az $X$ valószínűségi változó szórása pontosan akkor 0, ha $X$ konstans, azaz

$𝐃(X)=0\iff X=c$.

• Ha $X$ és $Y$ véges szórású korrelálatlan valószínűségi változók, azaz $\mathrm{corr}(X,Y)=0$, akkor

$𝐃(X+Y)=\sqrt{{𝐃}^2(X)+{𝐃}^2(Y)}.$

Azt látjuk tehát, hogy (korrelálatlan, véges szórású valószínűségi változók esetén) nem a szórás, hanem a szórásnégyzet viselkedik lineárisan.

Kapcsolódó témák

• Statisztikai szignifikancia

Források

• Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András, Rényi Alfréd, Szász Domokos (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény Typotex Kiadó, Budapest.

• Baran Sándor, Fazekas István, Glevitzky Béla, Iglói Endre, Ispány Márton, Kalmár István, Nagy Márta, Tar László, Verdes Emese (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy Pál – Takács Lajos (1973): Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger Pál, Szeidl László, Várlaki Péter (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis Typotex Kiadó, Budapest.