Várható érték

A várható értéket a matematikai statisztikában használjuk. Feladata a mért értékek populációjának jellemzését egyetlen, azt jól közelítő értékkel leírni. Erre szolgál a számtani közép, illetve az alábbiakban ismertetett várható érték. Kiszámítása lehetővé teszi a súlyozott számtani középarányos kiszámítását és értelmezését folytonos értékkészletű változóknál is. Változóként angol eredetiből származtatva az E betűvel jelöljük (Expectation).

Leírása

Az $(\mathrm{\Omega },𝒜,𝐏)$ valószínűségi mezőn értelmezett $X$ valószínűségi változó várható értéke

$𝐄(X)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }X\mathrm{d}𝐏,$

amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor az $X$ valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Ha $X$ eloszlásfüggvénye $F_X$, akkor a várható értéket felírhatjuk a következő képlettel:

$𝐄(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\mathrm{d}F(x).$

Az $X$ valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:

$𝐄(X),𝔼(X),𝐌(X).$

Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók várható értékének kiszámítására

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.

• Ha $X$ abszolút folytonos valószínűségi változó (azaz ha van sűrűségfüggvénye, amit most $f_X$-szel jelölünk), akkor az $X$ várható értékét az

$𝐄(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot f_X(x)\mathrm{d}x$

képlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.

• Ha $X$ diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek halmaza megszámlálható. Jelölje ezeket az értékeket most $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$, a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre $p_1,p_2,\dots ,p_n,\dots$, azaz $𝐏(X=x_i)=p_i$, ekkor $X$ várható értékét az

$𝐄(X)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\cdot p_n$

képlet adja meg. A diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez a sor abszolút konvergens.

A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága

• Nem negatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nem negatív, azaz, ha $X\ge 0$, akkor $𝐄(X)\ge 0$.

• A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha $X$ és $Y$ azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, akkor bármely $a,b\in ℝ$ esetén

$𝐄(aX+bY)=a𝐄(X)+b𝐄(Y).$

(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál a mértéktéren értelmezett mérhető függvény lineáris leképezése.)

• Független valószínűségi változók várható értéke multiplikatív, azaz ha $X$ és $Y$ független valószínűségi változók, akkor

$𝐄(XY)=𝐄(X)𝐄(Y).$

• Ha $X$ abszolút folytonos valószínűségi változó és $g$ mérhető függvény, akkor

$𝐄(g(X))=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g(X)\mathrm{d}𝐄=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)\mathrm{d}{F}_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f_X(x)dx.$

Megjegyzések

• Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.

• A matematikai statisztika megkülönböztet elméleti és tapasztalati várható értéket. Az előbbi egybeesik az ebben a szócikkben bemutatott várható értékkel, míg az utóbbi lényegében a statisztikai mintából számított átlag.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.