L’Hôpital-szabály

A matematikai analízisben L’Hôpital-szabálynak (ejtsd: [lopitál]) nevezik (egyik leírójának, Guillaume de L’Hôpital francia matematikusnak nevéből) a határérték-számítás egyik módszerét. Segítségével és a differenciálszámítás felhasználásával sok esetben kiszámítható a határérték akkor is, ha a függvényműveletek kritikus alakú határértékhez (például $\frac{0}{0}$, $0^0$ stb.) vezetnek, azaz ha egyszerű határérték-számítási szabályok nem adnak eredményt.

Ilyen esetekben a L’Hôpital-szabály szerint érdemes a függvényt hányadosként felírni, és ha mind a számláló, mind a nevező differenciálható, továbbá a deriváltak hányadosának van határértéke a vizsgált helyen véve, akkor ezzel a határértékkel megegyezik a keresett határérték.

A szabályt Bernoulli-L’Hôpital-szabálynak is nevezik. A leíró matematikus családneve többféle írásmódban előfordul: L’Hôpital, L’Hôspital, L’Hospital.

A szabály alapgondolata

Egy algebrai tört határértékproblémája esetén, például a

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$

határérték esetén a $\frac{0}{0}$ kritikus alak eltűnik, ha az (x-1) polinomot kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is (hiszen mindegyiknek gyöke az 1 szám). Ekkor behelyettesítéssel már kiszámíthatóvá válik a határérték:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0$

Bonyolultabb függvényeknél, hasonló esetben, például a

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}$

határértéknél a fenti módon nem tudjuk megszüntetni a 0-val való osztást. Hogy mód nyíljon valamiféle egyszerűsítésre esetünkben is, írjuk fel a függvényeket hatványsor alakban, azaz Taylor-sor formájában, így hasonlatosakká válnak a polinomokhoz.

$f(x)=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}-1}{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2k+1}(-1{)}^k}{(2k+1)!}}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...}{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-...}=\frac{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+...}{1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-...}$

Rögzített x szám esetén a sorok összegének homogén tulajdonsága folytán kiemeltük x-et, majd a törtet egyszerűsítettük. Ekkor a határértékképzés és az összegzés felcserélhetősége miatt adódik, hogy:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{1}=1$

Tekintve, hogy a sor konstans tagja tűnt el és az elsőfokú tag együtthatója jelent meg konstansként, a hányados határértéke a deriváltak határértéke lett (hiszen a Taylor-sor elsőfokú tagjának együtthatója nem más, mint a függvény adott pontbeli deriváltja).

Az egyszerű L’Hôpital-szabály

Nem kell feltennünk, hogy a függvény (mint az előző példában is) analitikus legyen. Elegendő a differenciálhatóság megkövetelése.

Tétel (Egyszerű L’Hôpital-szabály) Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0 és legyen u torlódási pontja az f/g függvény értelmezési tartományának. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(u)}{g^{\prime }(u)}$

Bizonyítás. Mind f, mind g a differenciálhatóság definíciója alapján felírható az u pont körül a következő alakban:

$f(x)=f(u)+f^{\prime }(u)(x-u)+\epsilon (x)(x-u)$

$g(x)=g(u)+g^{\prime }(u)(x-u)+\eta (x)(x-u)$

ahol ε és η az u pontban folytonos és ott eltűnő függvények. Tetszőleges x pontra az f/g értelmezési tartományából felírható a következő hányados:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(u)(x-u)+\epsilon (x)(x-u)}{g^{\prime }(u)(x-u)+\eta (x)(x-u)}=\frac{f^{\prime }(u)+\epsilon (x)}{g^{\prime }(u)+\eta (x)}$

hiszen f(u) = g(u) =0 és x-u-val egyszerűsíthetünk. Ekkor az ε és η u-beli 0 határértékei folytán:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(u)}{g^{\prime }(u)}$ ■

A L’Hôpital-szabály ismételt alkalmazása

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hôpital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabb rendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén):

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n+1)}(u)}{g^{(n+1)}(u)}$

Példa: Legyen $f(x)=\cos x+\mathrm{c}\mathrm{h}x-2,g(x)=x^4$ minden valós x-re. Ekkor a szabályt négyszer kell alkalmazni $u=0$-ra ahhoz, hogy fény derüljön a határértékre (amely 1/12).

Erős L’Hôpital-szabály

Tétel (Erős L’Hôpital-szabály) Ha $I$ nyílt intervallum, u az $I$ torlódási pontja, az f és g függvények $I$ \ {u}-n értelmezett n+1-szer differenciálható függvények, g⁽ⁿ⁺¹⁾ nem veszi föl a 0 értéket és minden k = 0,…,n számra lim_uf ^(k) = lim_ug^(k) = 0, továbbá létezik a $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to u}\frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}$, akkor létezik az alábbi határérték és a következővel egyenlő:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to u}\frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}$