Mérték (matematika)

A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. A mindennapi életben például ilyen mérték lehet a hossz, a terület, a térfogat vagy a valószínűség.

A mérték az integrál fogalmát általánosítja.

A mértékelmélet a valós analízis egyik ága, amely a halmazok mérhetőségével foglalkozik. Fontos szerepet tölt be a valószínűségszámításban és a statisztikában.

Formális definíció

A mérték egy $\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$ függvény, ahol $\mathrm{\Sigma }$ egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:

• Az üres halmaz mértéke nulla:

$\mu (\varnothing )=0;$

• σ-additivitás: ha E₁, E₂, E₃, … egy páronként diszjunkt, megszámlálható halmazsorozat $\mathrm{\Sigma }$-ban, akkor

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i).$

Az $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ hármast nevezik mértéktérnek, és $\mathrm{\Sigma }$ elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Tulajdonságok

Monotonitás

μ monoton, vagyis ha E₁ és E₂ mérhető halmazok, és E₁ ⊆ E₂, akkor μ(E₁) ≤ μ(E₂).

Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértéke

Ha E₁, E₂, E₃, … egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)$.

Ha E₁, E₂, E₃, … mérhető halmazok és E_n részhalmaza E_n+1-nek minden n-re, akkor az E_i halmazok uniója is mérhető, és

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_i)$.

Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértéke

Ha E₁, E₂, E₃, … mérhető halmazok és minden n-re E_n+1 részhalmaza E_n-nek, akkor az E_n halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy E_n halmaz mértéke véges, akkor

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_i)$.

Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden n ∈ N esetén

$E_n=[n,\mathrm{\infty })\subseteq ℝ$

Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.

Példák

• Lebesgue-mérték
• Számlálómérték
• Dirac-mérték

Források

• Paul R. Halmos: Mértékelmélet (Gondolat, 1994)