Derivált

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

• menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
• szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
• grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
• a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
• a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre, alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.

Pontos definíció és jelölések

Legyen f egyváltozós valós függvény, x₀ az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x₀-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán a

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

$f^{\prime }(x_0)$, vagy $\frac{df(x_0)}{dx}$, vagy ${\frac{df}{dx}|}_{x=x_0}$

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: $\dot{v}$ és fluxiónak nevezte.

Rögzített x esetén az

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados $x\to x_0$ melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0+0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0-0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ határérték létezik és véges.

Magyarázat

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ illetve $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

Mechanikai értelmezés

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

$\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}$

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

$v(t)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }t\to 0}\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\dot{s}(t)$

Az $\dot{s}(t)$ pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Geometriai értelmezés

Legyen $f$ egyváltozós valós differenciálható függvény, $x$ és $x_0$ egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje $f(x)=y$ és $f(x_0)=y_0$. Ekkor a koordinátasíkon az $(x;y)$ és $(x_0;y_0)$ pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ differenciahányados. Ha $x$ tart $x_0$-hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az $x_0$ -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény $x_0$-beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon $x_0$-beli érintőjének meredekségét adja meg.

Kiszámítása

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

$f:ℝ\to ℝ;x\mapsto x^3$

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

$\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^3-x^3}{\mathrm{\Delta }x}=$

$=\frac{(x^3+3x^2\mathrm{\Delta }x+3x(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^3)-x^3}{\mathrm{\Delta }x}=$

$=\frac{3x^2\mathrm{\Delta }x+3x(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^3}{\mathrm{\Delta }x}$

Vagyis a derivált:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{3x^2\mathrm{\Delta }x+3x(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^3}{\mathrm{\Delta }x}$

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{3x^2\mathrm{\Delta }x+3x(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^3}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(3x^2+3x\cdot \mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2)$

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

$f^{\prime }(x)=3x^2+3x\cdot 0+0^2$

$f^{\prime }(x)=3x^2$

Elemi függvények deriváltjai

Függvény neve	jele	deriváltja
konstans	$c$	$0$
konstans szorzó	$c\cdot x$	$c$
konstans alap, függvény kitevő	$a^x$	$a^x\cdot ln|a|$
hatvány	$x^c$	$c\cdot x^{c-1}$
exponenciális (e az Euler-féle szám)	$e^x$	$e^x$
természetes logaritmus	$\ln x$	$\frac{1}{x}$
logaritmus (a pozitív és nem 1)	${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}=\frac{{\log }_{a}e}{x}$
Trigonometrikus függvények
szinusz	$\sin x$	$\cos x$
koszinusz	$\cos x$	$-\sin x$
tangens	$\mathrm{tg}x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\mathrm{tg}}^{2}x$
kotangens	$\mathrm{ctg}x$	$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-1-{\mathrm{ctg}}^{2}x$
Hiperbolikus függvények
hiperbolikus szinusz	$\mathrm{sh}x$	$\mathrm{ch}x$
hiperbolikus koszinusz	$\mathrm{ch}x$	$\mathrm{sh}x$
hiperbolikus tangens	$\mathrm{th}x$	$\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}=1-{\mathrm{th}}^{2}x$
hiperbolikus kotangens	$\mathrm{cth}x$	$-\frac{1}{{\mathrm{sh}}^{2}x}=1-{\mathrm{cth}}^{2}x$
Inverz trigonometrikus függvények
arkusz szinusz	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
arkusz koszinusz	$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
arkusz tangens	$\mathrm{arctg}x$	$\frac{1}{1+x^2}$
arkusz kotangens	$\mathrm{arcctg}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$
Inverz hiperbolikus függvények
area hiperbolikus szinusz	$\mathrm{arsh}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
area hiperbolikus koszinusz	$\mathrm{arch}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
area hiperbolikus tangens	$\mathrm{arth}x$	$\frac{1}{1-x^2}$
area hiperbolikus kotangens	$\mathrm{arcth}x$	$\frac{1}{1-x^2}$

Műveletek deriváltjai

Művelet	Deriváltja
$(c\cdot f(x){)}^{\prime }$	$c\cdot f^{\prime }(x)$
$(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }$	$f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$
$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }$	$f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
$(\frac{f(x)}{g(x)}{)}^{\prime }$	$\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$
$(f_{(g(x))}{)}^{\prime }$	$f{\text{'}}_{(g(x))}\cdot g^{\prime }(x)$
$((f(x){)}^{g(x)}{)}^{\prime }$	$(e^{\ln f(x{)}^{g(x)}}{)}^{\prime }=(e^{g(x)\ln f(x)}{)}^{\prime }=f(x{)}^{g(x)}(g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\frac{1}{f(x)}{f}^{\prime }(x))$

További információk

• Magyarított Flash animáció a derivált geometriai jelentéséről a szinuszfüggvény példáján Sablon:Wayback. Szerző: David M. Harrison

Kapcsolódó szócikkek

• Parciális derivált