Szemilineáris leképezés

Egy szemilineáris leképezés a lineáris algebrában egy vektortér leképezése egy másik vektortérbe, aminek ugyanaz a skalárteste. A leképezés egy $\alpha$ testautomorfizmus erejéig különbözik a lineáris leképezéstől. Általánosabban, ferdetestek fölötti balvektorterek közötti leképezéseket tekintenek, amelyek ferdetest-monomorfizmus erejéig különböznek egy lineáris leképezéstől.

Minden lineáris leképezés szemilineáris. Megfordítva, egy $K$ test fölötti vektortér vagy balvektortér minden szemilineáris leképezése lineáris, ha a $K$ test merev, azaz nincs az identitástól eltérő automorfizmusa. Ilyenek például a valós számok mellett a prímtestek, a valósan zárt testek és az euklideszi testek. Egy szemilineáris forma egy vektortér szemilineáris leképezése skalártestébe, mint egydimenziós vektortérbe; vagy általánosabban, egy balvektortér szemilineáris leképezése skalárferdetestébe.

Rögzített bázis esetén egy szemilineáris leképezés egyértelműen felbontható egy lineáris leképezés és egy összes koordinátára elvégzett testautomorfizmus egymásutánjára.

A szűkebb értelemben vett geometrián kívüli alkalmazásokban, mint például a szeszkvilineáris formáknál, a legfontosabb esetek a komplex terek közötti leképezések, az automorfizmus a komplex konjugálás. Projektív terekben a szemilineáris leképezés nem lehet lineáris.

A szintetikus geometriában minden szemilineáris leképezés egy egyenestartó leképezés (kollinearitás) homogén részének ábrázolása egy legalább kétdimenzisós, desargues-i, egyenesenként több, mint két ponttal bíró affin geometriában; illetve egy legalább kétdimenziós, desaruges-i projektív geometria egy projektív geometriára vett leképezésének mátrixábrázolása, amennyiben mindkét tér rögzített koordináta-rendszerrel van ellátva. Itt az $\alpha$ morfizmus származhat a ferdetest-monomorfizmus definíciójából és ábrázolásából, tehát ferdetestek közötti injektív gyűrűhomomorfizmusból. A képtér lehet egy $L$-balvektortér egy bővebb $L$ ferdetest fölött, és az értékkészlet egy $K$ test fölött, ami izomorf egy $\alpha (K)<L$ résztestével.

Egy legalább kétdimenziós, desargues-i, affin vagy projektív tér bijektív, szemilineáris önleképezései ebben az értelemben éppen ezeknek a tereknek a kollineációinak a mátrixábárolásai, eltekintve egy ferdetest-automorfizmustól.

Definíció

Egy $K$ (ferde)test fölötti $V$ (bal)vektortér egy $f:V⟶W$ leképezése egy szintén $K$ fölötti $W$ (bal)vektortérbe szemilineáris leképezés, ha létezik egy $\alpha \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(K)$ automorfizmus úgy, hogy teljesülnek a következők minden $x,y\in V$ és $\lambda \in K$-ra:

• Additivitás: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, más szóval: $f$ a $(V,+)$ Abel-csoport csoporthomomorfizmusa.
• # $f(\lambda \cdot x)=\alpha (\lambda )\cdot f(x).$

Ábrázolás

Legyen $K$ ferdetest, és legyenek $V$, $W$ $n$, illetve $m$ dimenziós balvektortér $K$ felett. Legyen $f:V\to W$ szemilineáris leképezés. Ekkor $V$ tetszőleges $B_V=(v_1,v_2,\dots v_n)$ bázisa, és $W$ tetszőleges $B_W=(w_1,w_2,\dots w_m)$ bázisa esetén egyértelműen léteznek $n\times m$-es $A,B$ mátrixok és egy $\alpha$ ferdetest-automorfizmus úgy, hogy tetszőleges $\overrightarrow{v}\in V$ koordinátavektorra a $B_V$ bázisban

$\overrightarrow{w}=\alpha (A\cdot \overrightarrow{v})$ teljesül, és $\overrightarrow{w}=B\cdot \alpha (\overrightarrow{v}),$

ha a $\overrightarrow{w}=f(\overrightarrow{v})\in W$ képvektor a $B_W$ bázisban ábrázolva. Az $A$, $B$ mátrixokat egyértelműen meghatározzák a bázisok, illetve az $f$-hez való kapcsolatuk, azonban általában különböznek egymástól. Az $\alpha$ automorfizmus mindkét ábrázolásban ugyanaz lehet, függetlenül a választott bázistól. Ezt az$f$-fel való kapcsolat határozza meg, amennyiben az $f(V)\ne \{0\}$ képre vonatkozik. Lásd még: kollineáció.

Példák, ellenpéldák

Legyenek $V,W$ vektorterek a komplex számok fölött. Egy

$S:V\times W\to ℂ,(v,w)\mapsto S(v,w)=⟨v,w⟩$

leképezés pontosan akkor szeszkvilineáris forma, ha a $w\mapsto S(v,w)$ leképezések minden rögzített $v\in V$ vektorra lineáris, és a $v\mapsto S(v,w)$ leképezés minden rögzített $w\in V$ vektorra szemilineáris, a komplex konjugálással mint automorfizmussal.

Legyen $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$; ennek a testnek van egy

$\alpha :a+\sqrt{2}b\mapsto a-\sqrt{2}b;a,b\in \mathbb{Q}$

nemidentikus, involutorikus automorfizmusa, ami tetszőleges $n\times n$-es $A$ mátrixszal szemilineáris leképezést indukál a $K^n$ vektortérben annak standard bázisára vonatkozóan:

$f(\overrightarrow{v})=A\cdot \alpha (\overrightarrow{v})$

Ha $A$ reguláris, akkor ez a leképezés egy kollineációt ábrázol a $K^n$ fölötti affin térben.

Egy Lenz-IV osztályú projektív transzlációsík kollineációja nem ábrázolható szemilineáris leképezéssel, mivel a sík nem koordinátázható ferdetesttel.

Egy antiunitér operátor szemilineáris leképezés egy komplex Hilbert-téren a komplex konjugációra vonatkozóan, melyet egy unitér operátor és egy koordinátánkénti komplex konjugálás ad ki. Alternatívan, az antiunitér operátorok jellemezhetők, mint szemilineáris szürjektív izometriák. A kvantummechanikában szimmetriák matematikai leírására használják őket, lásd Wigner tétele. Az időtükrözés egy példa egy efféle szimmetriára.

A szemilineáris leképezések csoportja

Általános szemilineáris csoport

Egy $K$ test fölötti $V$ vektortér invertálható szemilineáris leképezései csoportot alkotnak, az általános szemilineáris csoportot, melynek jelölése $\mathrm{\Gamma }L(V)$. Kifejezhető szemidirekt szorzatként:

$\mathrm{\Gamma }L(V)=GL(V)⋊\mathrm{Gal}(K/k)$

ahol $GL(V)$ a vektortér általános lineáris csoportja és $\mathrm{Gal}(K/k)$ $K$ Galois-csoportja, mint egy $k\subset K$ prímtest bővítése. Ez utóbbi éppen $K$ testautomorfizmus-csoportja, mivel a testautomorfizmusok a prímtestet fixen hagyják.

Projektív szemilineáris csoport

Egy $K$ test fölötti $V$ vektortér projektív szemilineáris csoportja az

$P\mathrm{\Gamma }L(V)=PGL(V)⋊\mathrm{Gal}(K/k)$

szemidirekt szorzat, ahol $PGL(V)$ a vektortér projektív lineáris csoportja, $\mathrm{Gal}(K/k)$ pedig $K$ testautomorfizmus-csoportja. Ez a csoport a $P(V)$ projektív téren hat.

Általánosítás

Általánosabban legyen $R$ gyűrű, és klegyen $\sigma :R\to R$ endomorfizmus. Ekkor egy $f:V\to W$ additív leképezés $\sigma$-szemilineáris, ha

$f(\lambda v)=\sigma (\lambda )\cdot f(v)$

minden $\lambda \in R$ és $v\in V$-re.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book