Felszín

Sablon:Matematika Felszínnek nevezzük a testek egyik jellemzőjét. Hétköznapi értelemben a test határfelületeinek összes területét értjük alatta, ilyen módon a soklapok (poliéderek) testhálójával áll szoros kapcsolatban. Sok természeti folyamat is a megfelelő testek felszínével áll kapcsolatban.

Definíció

A felszín definíciója több irányból is megközelíthető, ezek azonban ugyanarra az eredményre kell vezessenek. Matematikai értelemben a felszínt valójában függvénynek kell tekinteni,Sablon:Jegyzet* mivel az egyes testekhez számértéket egyértelműen rendel.

Elemi meghatározás

Ha a testről a határait "leválasztjuk", és azt síkidomba terítjük, az így kapott ponthalmaz területét nevezzük a test felszínének. Ez az eljárás poliéderek és egyes görbe felületű testek esetén működőképes, azonban sok test felszínének meghatározására kevéssé alkalmas.Sablon:Jegyzet*

A meghatározás előnye, hogy rendkívül szemléletes, és megfelel a technikai alkalmazásoknak. Hátránya éppen a fent említett korlátozottság.

Geometriai megközelítés

1. Poliéderek esetén a határoló síklapok területének összegét értjük a test felszíne alatt. Ez megfelel a testháló, mint síkidom területének.
2. Ha a test síkba fejthető (van testhálója), akkor a megfelelő síkidom területét értjük felszín alatt.
3. Egyéb esetekben a testet belülről és kívülről burkoló poliédersereg felszínének határértékét tekintjük a test felszínének, amennyiben a kettő létezik és megegyezik.Sablon:Jegyzet*

Utóbbi esetet a gömb felszínének meghatározásakor szokás legjellemzőbben alkalmazni.

Analitikus értelmezés

A felszín naiv fogalmából az analízis segítségével igen precíz definíció alkotható meg. Testnek tekintjük az Rⁿ-beli zárt, egyszeresen összefüggő halmazt. Ennek határpontjai alkotják a test felszínét, mint halmazt, és a halmaz mértékét nevezzük a test felszínének. Ez alapján a test felszíne általában integrálással határozható meg.

Kiszámítása

Egyszerű testek

Egyszerű testeknek tekintjük a poliédereket és a egyenes szakaszokból származtatható forgástesteket, valamint a gömböt. Ezek esetében könnyen kezelhető, megjegyezhető képletek állnak rendelkezésre a felszín meghatározásához.

Az egyszerű testekből, azok összeillesztésével, néhány további testnek is számítható a felszíne.

Általános számítás

Ha a testet az F(x,y,z) függvény írja le, akkor a felszínét az F(x,y,z)=0 egyenlet, amit átrendezve a z(x,y)=0 egyenletet kapjuk. Ennek integrálja lesz a felszín:

$S=\int z(x,y)\text{d}x\text{d}y$ az általános képlet és

$S=\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}z(x,y)\text{d}x\text{d}y$ a konkrét érték.

Az integrál ilyen formában történő kiszámítása sok esetben nehezen kivitelezhető, ilyenkor érdemes a változókat megfelelő módon paraméterezni.

Speciálisan a forgástestek felszíne egyszerűbben is számolható, feltéve, hogy a tengelyüket a koordináta-rendszer x-tengelye alkotja. Ekkor ugyanis az Sablon:Math függvény ívhosszát kell tudnunk kiszámolni, mivel ennek forgatása jelenti a test felszínét.Sablon:Jegyzet* Ekkor a felszínt az alábbi integrál írja le:

$2\pi \underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}1+{\left(y^{\prime }\right)}^2\text{d}x$

Néhány test felszíne

Test	Jellemző paraméter(ek)	Felszín meghatározása
Kocka	e élhossz	Sablon:Math
Téglatest	w szélesség l hosszúság h magasság	Sablon:Math
Henger	r sugár h magasság	Sablon:Math
Egyenes körkúp	c alkotó r alapkör sugara	Sablon:Math
Gömb	r sugár	Sablon:Math

Mértékegység

A felszín az SI mértékegységrendszerben a hosszúságból leszármaztatott mennyiség, dimenziója hosszúság²: dim(S)=L². Ennek megfelelően a mértékegysége [S]=m².

A kisebb és nagyobb egységek esetén a szülő dimenzió átváltási arányának négyzete az átváltási arány, hogy ez a matematikai eszközök használata közben ne okozzon problémát. A váltási arányok SI esetén:

	km2	m2	cm2	mm2
km2=	1	Sablon:Szám	Sablon:Szám	Sablon:Szám
m2=	Sablon:Szám	Sablon:Szám	Sablon:Szám	Sablon:Szám
cm2=	Sablon:Szám	Sablon:Szám	Sablon:Szám	Sablon:Szám
mm2=	Sablon:Szám	Sablon:Szám	Sablon:Szám	Sablon:Szám

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

További információ

• Integrál
• Mérték