Teniszütő-tétel

A "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps" címlapja, 1852-es nyomtatás

A teniszütő fő tengelyei

A teniszütő-tétel a klasszikus mechanika egy tétele, amely egy három különböző fő tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező merev test mozgására vonatkozik. Dzsanyibekov-effektusnak is nevezik Vlagyimir Dzsanibekov orosz űrhajós után, aki 1985-ben az űrben tartózkodva észrevette a tétel egyik logikai következményét, bár a hatás már legalább 150 évvel korábban is ismert volt.

A tétel állítása a következő: egy objektum forgása az első és a harmadik fő tengelye körül stabil, míg a második fő tengelye (vagy a köztes tengely) körül nem.

Ez a következő kísérlettel bizonyítható: fogjuk a teniszütőt a nyelénél úgy, hogy az arccal lefelé nézzen, és dobjuk úgy a levegőbe, hogy teljes forgást hajtson végre a nyélre merőleges vízszintes tengely körül, majd kapjuk el újra a nyelénél. Szinte minden esetben a dobás során a teniszütő egy fél elfordulást is elvégez, így a teniszütő másik oldala van már fent. Míg ezzel szemben ha az ütőt a nyéllel megegyező irányú és az ütő arcára merőleges főtengelye körül forgatva dobjuk el, nem történik kísérő félfordulás.

A kísérlet bármely olyan tárggyal elvégezhető, amelynek három különböző tehetetlenségi nyomatéka van, például könyvvel, távirányítóval vagy okostelefonnal. A hatás akkor jelentkezik, amikor a forgástengely csak kis mértékben tér el a tárgy második fő tengelyétől; a légellenállás vagy a gravitáció nem szükséges.

Elmélet

A közbenső tengely instabilitásának vizualizálása. A perdület négyzete (barna ellipszoid) és a mozgási energia (kék ellipszoid) egyaránt megmaradó mennyiségek. Ennek eredményeként a szögsebességvektor két ellipszoid metszésvonalán marad. A metszésvonal a legkisebb és legnagyobb tehetetlenségi tengely közelében marad, míg középső tengelytől távolodik.

Fájl:Dzhanibekov effect.ogv A teniszütő-elmélet kvalitatív módon elemezhető Euler egyenleteinek segítségével. Nyomatékmentes körülmények között a következő képpen írható fel:

$\begin{array}{cc}{I}_1{\dot{\omega }}_1& =(I_2-I_3){\omega }_2{\omega }_3\text{(1)}\\ I_2{\dot{\omega }}_2& =(I_3-I_1){\omega }_3{\omega }_1\text{(2)}\\ I_3{\dot{\omega }}_3& =(I_1-I_2){\omega }_1{\omega }_2\text{(3)}\end{array}$

Itt $I_1,I_2$ és $I_3$-al a tárgy fő tehetetlenségi nyomatékjait jelöljük, és feltételezzük, hogy $I_1>I_2>I_3$ . A tárgy három fő tengelye körüli szögsebességét ${\omega }_1,{\omega }_2$ és ${\omega }_3$-al,míg idő szerinti deriváltjaikat pedig ${\dot{\omega }}_1,{\dot{\omega }}_2$ és ${\dot{\omega }}_3$-al jelöljük .

Stabil forgás az első és a harmadik főtengely körül

Képzeljük el azt a helyzetet, amikor egy tárgy a tengelye körül forog $I_1$ tehetetlenségi nyomatékkal. Az egyensúly természetének meghatározásához vegyünk fel kis kezdeti szögsebességeket a másik két tengely mentén. Ennek eredményeként az (1) egyenlet szerint ${\dot{\omega }}_1$ nagyon kicsi. Ezért az ${\omega }_1$ idő függősége elhanyagolható.

Most rendezzük úgy át a (2) egyenletet, hogy ${\dot{\omega }}_3$-t behelyettesítjük a (3) egyenletből,

$\begin{array}{cc}{I}_2{I}_3{\ddot{\omega }}_2& =(I_3-I_1)(I_1-I_2)({\omega }_1{)}^2{\omega }_2\\ \text{i.e. }{\ddot{\omega }}_2& =\text{(negatív mennyiség)}\cdot {\omega }_2\end{array}$

mivel $I_1-I_2>0$ és $I_3-I_1<0$ .

Vegyük figyelembe, hogy ${\omega }_2$ szögsebesség és második deriváltja ellentétes előjelű, ezért a tengely körüli forgás stabil az objektum számára (lásd: harmonikus rezgőmozgás differenciálegyenlete).

Hasonlóan képpen a $I_3$ tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tengely szintén stabil.

A második főtengely körüli instabil forgás

Most alkalmazzuk ugyanazt az egyenlet levezetést az $I_2$ tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tengelyre. Ezúttal a ${\dot{\omega }}_2$ nagyon kicsi. Ezért az ${\omega }_2$ idő függősége hanyagolható el.

Most rendezzük úgy át az (1) egyenletet, hogy az ${\dot{\omega }}_3$-at behelyettesítjük a (3) egyenletből,

$\begin{array}{cc}{I}_1{I}_3{\ddot{\omega }}_1& =(I_2-I_3)(I_1-I_2)({\omega }_2{)}^2{\omega }_1\\ \text{i.e.}{\ddot{\omega }}_1& =\text{(pozitív mennyiség)}\cdot {\omega }_1\end{array}$

Vegyük figyelembe, hogy ${\omega }_1$ és második deriváltja azonos előjelű (és ezért ${\omega }_1$ bármilyen kis kezdeti érték esetén abszolút értékben növekedni fog), ezért a második tengely körüli forgatás instabil. Ezért még egy apró zavar is egy másik tengely mentén képes megfordítani a tárgyat.

Fordítás

• Sablon:Fordítás

Források

• Sablon:Cite web
• Sablon:Cite web – a Mir szovjet űrállomáson készült demonstrációSablon:Pontosabban?
• Sablon:Cite web
• Louis Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Párizs, Bachelier, 1834, 170 p. OCLC 457954839 – történelmileg ennek a hatásnak az első matematikai leírása
• Sablon:Cite web – 25 perces intuitív videomagyarázat a Cambridge-i Egyetem matematikusának, Hugh Hunt segítségével

Kapcsolódó szócikkek

• Euler-szögek
• Tehetetlenségi nyomaték