Prímideál

Egy prímideál az algebrában egy gyűrű olyan ideálja, ami számos tekintetben a prímszámok fogalmának felel meg.

Definíció

Egy kommutatív, egységelemes $R$ gyűrű $𝔭⊊R$ ideálja akkor prímideál, ha

$\mathrm{\forall }x,y\in R:xy\in 𝔭⟹x\in 𝔭$ vagy $y\in 𝔭$.

A prímideálok halmazát a gyűrű spektrumának nevezzük és $\mathrm{Spec}R$-rel jelöljük. A spektrum a Zariski-topológiával ellátva topologikus térré tehető.

Példák

• A racionális egészek $\mathbb{Z}$ gyűrűjében a prímideálok $p\mathbb{Z}$ alakúak, ahol $p=0$ vagy prímszám.
• A $\mathbb{Z}[X]$ polinomgyűrűben a $2$ és $X$ által generált ideál prímideál, és pontosan azokból a polinomokból áll, amiknek konstans tagja páros szám.
• Alaptételes gyűrűben egy irreducibilis elem által generált ideál prímideál.

Tulajdonságok

• Egy $𝔭⊊R$ ideál akkor és csak akkor prímideál, ha $R/𝔭$ nullosztómentes.
• Minden maximális ideál prím, de a megfordítás általában nem igaz.
• Krull tétele szerint tetszőleges $R$-ben létezik maximális ideál, következésképpen prímideál is.
• Egy $𝔭\subseteq R$ ideál akkor és csak akkor prímideál, ha $R\setminus 𝔭$ multiplikatívan zárt halmaz. Ez a prímideálnál vett lokalizált fogalmához vezet; ezt $(R\setminus 𝔭{)}^{-1}R$ helyett rövidebben $R_{𝔭}$-vel szokás jelölni.
• Prímideál gyűrűhomomorfizmusnál vett ősképe prímideál.

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás