Sincfüggvény

A nem normált (pirossal) és a normált (kékkel) kardinális szinusz

A sincfüggvény, sinus cardialis, kardinális szinusz vagy szi-függvény egy valós analitikus függvény. A kardinális szinusz elnevezés Philip M. Woodwardtól származik 1953-ból. A szakirodalomban az elnevezések nem egységesek, különösen angol nyelvű könyvekben sinc néven hivatkoznak mind a normált, mind a nem normált sincfüggvényre. A német szakirodalom megkülönbözteti a kettőt, a nem normált:

$\mathrm{si}(x)=\frac{\sin (x)}{x}$

és a normált:

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$

Mindkét esetben a 0 helyen a függvény értékét 1-nek definiáljuk (megszüntethető szingularitás megszüntetése).

Különféle alkalmazásokban, mint az információelméletben, a digitális jelfeldolgozásban, inkább a normált sincfüggvényt használják.

Tulajdonságai

A si függvény szélsőértékei ott vannak, ahol a függvény értéke megegyezik a koszinusszal. si (x) = sin (x) / x pirossal, cos (x) kékkel

A sincfüggvénynek megszüntethető szingularitása van a 0 helyen, ahol határértéke $\mathrm{si}(0)=1$ illetve $\mathrm{sinc}(0)=1$. Ez belátható a L’Hôpital-szabály alkalmazásával. Ezt figyelembe véve néha a definícióba is befoglalják a szingularitás megszüntetését.

Programcsomagok, mint a Matlab a normalizált sincfüggvényt tartalmazzák, ami kifejezhető szorzatként és a gamma-függvénnyel is:

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

A $\mathrm{si}$-függvény Taylor-sora levezethető a szinuszfüggvény Taylor-sorából:

$\frac{\sin (x)}{x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\mp \cdots$

A $j_0$ elsőfajú szferikus függvény azonosan megegyezik a $\mathrm{si}$-függvénnyel:

$j_0(x)=\frac{\sin (x)}{x}$

A sincfüggvények nullhelyei:

$\mathrm{si}(x)=\frac{\sin (x)}{x}=0$ minden $x\in \{n\pi |n\in \{\pm 1,\pm 2,\dots \}\}$ esetén

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=0$ minden $x\in \{\pm 1,\pm 2,\dots \}$ esetén

A $\mathrm{si}$ függvény pozitív szélsőértékhelyei $x_n,n\ge 1$ jó közelítéssel:

$x_n\approx (n+\frac{1}{2})\pi -\frac{1}{(n+\frac{1}{2})\pi }$

ahol páratlan $n$ esetén helyi minimum, páros $n$ esetén helyi maximum van. Az első szélsőértékhelyre a közelítés hibája jóval kisebb, mint 1/100. Mindkét függvény páros (két páratlan függvény hányadosa), a negatív szélsőértékhelyek a pozitívok tükörképei. A függvényeknek abszolút maximumuk van az x = 0 helyen.

si(x) = sin(x)/x maximum- és minimumhelyei

Maximumhely	Minimumhely
0
	≈ 4,4934095 ≈ 1½π − 0,219284
≈ 7,7252518 ≈ 2½π − 0,12873
	≈ 10,904122 ≈ 3½π − 0,091452
≈ 14,066194 ≈ 4½π − 0,070973
	≈ 17,220755 ≈ 5½π − 0,057989
≈ 20,371303 ≈ 6½π − 0,049049
	≈ 23,519452 ≈ 7½π − 0,042493
≈ 26,666054 ≈ 8½π − 0,042998
	≈ 29,811599 ≈ 9½π − 0,033531
≈ 32,956389 ≈ 10½π − 0,030334
	≈ 36,100622 ≈ 11½π − 0,0276935
≈ 39,244432 ≈ 12½π − 0,025476
	⋯
⋯
	≈ (2n−½)·π − ((2n−½)·π)−1
≈ (2n+½)·π − ((2n+½)·π)−1

Az $\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ függvény $n$-edik deriváltja

minden $x\ne 0$ esetén analitikusan meghatározható:

$\frac{{\mathrm{d}}^n\mathrm{si}(x)}{\mathrm{d}{x}^n}=\sum _{m=0}^n\frac{n!}{m!}(-1{)}^{n-m}\frac{{\mathrm{d}}^m\sin x}{\mathrm{d}{x}^m}\frac{1}{x^{n-m+1}}=\frac{1}{x}(\frac{{\mathrm{d}}^n\sin x}{\mathrm{d}{x}^n}-n\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}\mathrm{si}(x)}{\mathrm{d}{x}^{n-1}})$

Innen az első két derivált:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{si}(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{si}(x)}{\mathrm{d}{x}^2}=-\frac{\sin x}{x}-\frac{2\cos x}{x^2}+\frac{2\sin x}{x^3}$

A teljes görbe alatti terület

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}(x)dx=\pi$

illetve

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)dx=1$.

A sincfüggvény a négyszögfüggvény Fourier-transzformáltja:

$\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau }\right)={\chi }_{[-\tau /2,\tau /2]}(t):=\{\begin{array}{cc}1& |t|\le \tau /2\\ 0& \text{ellenkező esetben}\end{array}$

mivel

$ℱ({\chi }_{[-\tau /2,\tau /2]})(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\tau /2}{\overset{\tau /2}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\tau \mathrm{si}\left(\frac{\omega \tau }{2}\right)$  .

További hasznos tulajdonság, hogy a normalizált függvény zérushelyei egészek.

A normalizált függvény a négyszögfüggvény Fourier-transzformáltja arányosítás nélkül. Ez a függvény alapvető jelentőségű a folytonos sávhatárolt jelek visszaállításnál, egyenletes eloszlású mintavétel mellett.

A két definíció között csak az a különbség, hogy a független változó egy π-szeres szorzóban különbözik. A sincfüggvény mindenhol analitikus.

A Fourier-transzformáció tulajdonságaiból következik, hogy a sincfüggvény analitikus, így tetszőlegesen sokszor differenciálható. A Fourier-transzformáció miatt következik a Plancherel-identitás, emiatt ortogonális a $\pi$ egész számszorosaival vett eltoltaira, teljesül, hogy

$⟨\mathrm{s}\mathrm{i}(x-k\pi ),\mathrm{s}\mathrm{i}(x-l\pi )⟩=\frac{\pi }{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}(l-k)\pi t}\mathrm{d}t=\pi \mathrm{s}\mathrm{i}((l-k)\pi )=\pi {\delta }_{l,k}$  ,

ahol ${\delta }_{l,k}$ a Kronecker-delta.

Megfelelő normálással az eltoltak ortonormált bázist alkotnak az $L^2(ℝ)$ térben. A sinc(x−kπ) által kifeszített altérre vett projekció

$P(f)(x)=\frac{1}{\pi }\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}⟨f(t),\mathrm{s}\mathrm{i}(t-k\pi )⟩\mathrm{s}\mathrm{i}(x-k\pi )$  .

Az interpolációs tulajdonság miatt

$P(f)(n\pi )=\frac{1}{\pi }⟨f(t),\mathrm{s}\mathrm{i}(t-n\pi )⟩$ 

tehát

$P(f)(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}P(f)(k\pi )\mathrm{s}\mathrm{i}(x-k\pi )$  .

Ebben az altérben a függvényeket egyértelműen meghatározzák az $\{k\pi :k\in \mathbb{Z}\}$ helyeken felvett értékeik.

A négyszögfüggvény tartója korlátos, tehát eltoltjainak lineáris kombinációi is sávkorlátozottak. Megfordítva, minden sávkorlátozott függvény előáll ilyen lineáris kombinációként, emiatt a nevezett helyeken felvett értékeik egyértelműen meghatározzák őket. Ez Nyquist-Shannon mintavételezési tétele.

Alkalmazások

Digitális jelfeldolgozás

A sincfüggvény fő alkalmazása a digitális jelfeldolgozás. Megjelenik a mintavételi (vagy kardinális, E. T. Whittaker 1915) sorozatban, amivel egy folytonos, sávkorlátos $x$ jel rekonstruálható a mintavételezett $x(k\mathrm{\Delta }t)$ értékből, illetve egy tetszőleges támaszhelysorozat folytonos jelként folytatható:

$x(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }t)\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}(t-k\mathrm{\Delta }t))$

Ez a legkisebb oszcillációjú interpolációs képlet. Frekvenciaspektruma korlátozott, és legkisebb lehetséges körfrekvenciája $\frac{\pi }{\mathrm{\Delta }t}$, illetve frekvenciája $\frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}$. Ha a sávkorlátozottság nem teljesül az $x$ jelre, tehát a kimenő jelnek magas frekvenciájú összetevői is vannak, akkor ez a mintavételezés nem elég sűrű, és a nagyfrekvenciájú összetevők helyett alacsony frekvenciájú összetevők lesznek rekonstruálva. Ez az alias-hatás.

Elhajlás

Hullámok elhajlásakor a frekvenciák elhajlási mintát alkotnak, ami Fourier-transzformációkkal négyszögszerű nyílásfüggvényként magyarázható. Emiatt a sincfüggvényt résfüggvénynek is nevezik. Elhajláskor a szem által közvetített fényerősség a hullám aplitudójának négyzete; innen adódóan ${\mathrm{sinc}}^2$.

Prímszámeloszlás és magfizika

A ${\left(\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\right)}^2$ függvénykifejezés a fizikában a nehéz atommagok sajátállapotainak energiájának pár-korrelációs eloszlását írja le. A matematikában a Riemann-féle zéta-függvény prímszámokhoz asszociált pár-korreláció eloszlását írja le. Mindkét elméletben közös a véletlen mátrixok elmélete, amit először Freeman Dyson fizikus fejtett ki Hugh Montgomery matematikussal folytatott beszélgetésében 1972-ben.

Hasonló függvények

A sincfüggvény szerkezetéhez hasonló a tanc függvény:

$\mathrm{tanc}(x):=\frac{\tan (x)}{x}$

amit azonban nem tekintenek kardinális függvénynek.

Története

A sincfüggvényt Phillip Woodward vezette be 1952-ben, egy publikációjában, melyben azzal indokolta a önálló sincfüggvény bevezetését, hogy az információ elméletben olyan sokszor fordul elő a Fourier-transzformáció, hogy megérdemli ez a függvény, hogy önállóan is szerepeljen a leírásokban. A ‘sinc’ kifejezés a függvény latin nevének az összevonása: sinus cardinalis.

Irodalom

• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Riemann-integrál
• Információelmélet
• Szögfüggvények
• Sinc-szűrő
• Lánczos-szűrő
• Dirichlet-integrál
• Borwein-integrál

További információk

• http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
• http://calculus.subwiki.org/wiki/Sinc_function
• http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/1.-differentiation/part-a-definition-and-basic-rules/session-8-limits-of-sine-and-cosine/MIT18_01SCF10_ex08sol.pdf