Jordan-függvény

A számelméletben egy n $J_k(n)$ Jordan-függvénye rögzített k pozitív egész esetén azoknak a k-asoknak a száma, amelyekben minden szám pozitív egész, és legfeljebb n, továbbá a benne levő számok n-nel együtt relatív prím k + 1-est alkotnak. Ez az Euler-függvény általánosítása, ami J₁. A függvényt Camille Jordan után nevezték el.

Tulajdonságok

A Jordan-függvény multiplikatív, és értéke

$J_k(n)=n^k\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p^k}).$

$\sum _{d|n}{J}_k(d)=n^k.$,

ami a Dirichlet-konvolúcióval

$J_k(n)\star 1=n^k$

és Möbius-inverzióval

$J_k(n)=\mu (n)\star n^k$.

Mivel μ Dirichlet-generátorfüggvénye 1/ζ(s) és n^k Dirichlet-generátorfüggvénye ζ(s-k), azért a J_k sora

$\sum _{n\ge 1}\frac{J_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s-k)}{\zeta (s)}$.

A J_k(n) átlagrendje

$\frac{n^k}{\zeta (k+1)}$.

A Dedekind-féle pszi-függvény kifejezhető Jordan-függvénnyel:

$\psi (n)=\frac{J_2(n)}{J_1(n)}$,

és a definícióra való tekintettel, felismerve, hogy minden tényező a prímek feletti szorzatban a p^-k körosztási polinomja igazolható, hogy $\frac{J_k(n)}{J_1(n)}$ vagy $\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}$ egész értékű multiplikatív függvény.

$\sum _{\delta \mid n}{\delta }^s{J}_r(\delta )J_s\left(\frac{n}{\delta }\right)=J_{r+s}(n)$.      

Mátrixcsoportok rendje

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok általános lineáris csoportjának rendje

$|\mathrm{GL}(m,{𝐙}_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^m{J}_k(n).$

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok speciális lineáris csoportjának rendje

$|\mathrm{SL}(m,{𝐙}_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^m{J}_k(n).$

Az m rendű, Z_n fölötti mátrixok szimplektikus csoportjának rendje

$|\mathrm{Sp}(2m,{𝐙}_n)|=n^{m^2}\prod _{k=1}^m{J}_{2k}(n).$

Az első két képletet még Jordan fedezte fel.

Példák

Explicit listák az OEIS-ben J₂ Sablon:OEIS2C, J₃ Sablon:OEIS2C, J₄ Sablon:OEIS2C, J₅ Sablon:OEIS2C, J₆-tól J₁₀-ig Sablon:OEIS2C egészen Sablon:OEIS2C-ig.

Az arányokkal definiált multiplikatív függvények J₂(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₃(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₄(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₅(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₆(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₇(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₈(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₉(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₁₀(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C, J₁₁(n)/J₁(n) Sablon:OEIS2C.

A J_2k(n)/J_k(n) arányokra példák: J₄(n)/J₂(n) Sablon:OEIS2C, J₆(n)/J₃(n) Sablon:OEIS2C, és J₈(n)/J₄(n) Sablon:OEIS2C.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book

Fordítás

• Sablon:Fordítás