Mértani-harmonikus közép

A matematikában két pozitív szám, x és y mértani-harmonikus közepe így definiálható: Legyen g₁ a két szám mértani közepe, és harmonikus közepük h₁. Ezek kiszámíthatók egymás után vagy párhuzamosan.

A kapott két számmal megismételve a műveletet kapjuk a g₂ és a h₂ számokat. Iterálva az eljárást kapjuk a (g_n) és (h_n) sorozatokat:

$g_{n+1}=\sqrt{g_n{h}_n}$

és

$h_{n+1}=\frac{2}{\frac{1}{g_n}+\frac{1}{h_n}}$

Ez a két sorozat ugyanahhoz a határértékhez tart, ami a kiindulási két szám mértani-harmonikus közepe. Nevezik harmonikus-mértani középnek is.

Tulajdonságok

A mértani-harmonikus közép, M(x, y) x és y mértani és harmonikus közepe közé esik. M(x, y) homogén is, azaz har > 0, akkor (rx, ry) = r M(x, y).

Ha AG(x, y) a számtani-mértani közép, akkor

$M(x,y)=\frac{1}{AG(\frac{1}{x},\frac{1}{y})}$

Egyenlőtlenség

A pitagoraszi közepek és az iterált pitagoraszi közepek között az alábbi egyenlőtlenségek teljesülnek:

$\min (x,y)\le H(x,y)\le HG(x,y)\le G(x,y)\le GA(x,y)\le A(x,y)\le \max (x,y)$

ahol

• H(x, y) a harmonikus közép,
• HG(x, y) a harmonikus–mértani közép,
• G(x, y) = HA(x, y) a mértani közép, ami egyenlő a harmonikus-számtani középpel
• GA(x, y) a mértani-számtani közép,
• A(x, y) a számtani közép.