Gersgorin-tétel

A lineáris algebrában a Gersgorin-tétel azt mondja ki, hogy a komplex test feletti négyzetes mátrix sajátértékei a komplex síkon a főátló elemei körüli úgynevezett Gersgorin-körökön belül találhatóak. A tétel jelentős a numerikus módszerek elméletében, amennyiben lehetőséget ad a sajátértékek lokalizációjára és gyors közelítő meghatározására. A tétel Szemjon Aronovics Gersgorin szovjet matematikus eredménye.

Legyen $A=(a_{ij})$ négyzetes mátrix, ahol $a_{ij}\in ℂ$. Az $a_{ii}$ átlóelemhez tartozó $G_i$ Gersgorin-kör a komplex síknak az a körlemeze, amelynek középpontja $a_{ii}$, sugara pedig $\sum _{i\ne j}|a_{ij}|$.

A tétel tehát azt állítja, hogy a mátrix sajátértékei a Gersgorin-körök unióján belül helyezkednek el. Speciális esetben, ha a mátrix diagonális, akkor a Gersgorin-körök sugara nulla, és a tétel azt az ismert tényt fejezi ki, hogy a diagonális mátrix sajátértékei éppen a főátlóbeli elemei.