Prím zéta-függvény

A matematikában a prím zéta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény analogonja. Az alábbi sorral definiálható, ami konvergens minden $\mathrm{\Re }(s)>1$-re:

$P(s)=\sum _{p\in \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{k}}\frac{1}{p^s}$.

Tulajdonságok

A Riemann-féle zéta-függvény Euler-szorzata implikálja, hogy:

$\log \zeta (s)=\sum _{n>0}\frac{P(ns)}{n}$

ami Möbius-inverzióval:

$P(s)=\sum _{n>0}\mu (n)\frac{\log \zeta (ns)}{n}$

Ha s tart az egyhez, akkor $P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left(\frac{1}{s-1}\right)$. Ezt a Dirichlet-sűrűség definíciója használja. Továbbá kiterjeszti P(s)-t a $\mathrm{\Re }(s)>0$ félsíkra, végtelen sok logaritmikus szingularitással azokban a pontokban, ahol ns pólusa vagy zérushelye ζ(s)-nek. A $\mathrm{\Re }(s)=0$ az értelmezési tartomány természetes határvonala, mivel majdnem minden pontjában szingularitása van a függvénynek.

Ha definiáljuk a

$a_n=\prod _{p^k\mid n}\frac{1}{k}=\prod _{p^k\mid \mid n}\frac{1}{k!}$

sorozatot, akkor

$P(s)=\log \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}.$

ami Li 2.7-edik lemmájával ekvivalens.

A prím zéta-függvény az Artin-konstanshoz is kapcsolódik:

$\ln C_{\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}}=-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(L_n-1)P(n)}{n}$

ahol L_n az n-edik Lucas-szám.

Speciális értékei:

s	P(s) közelítő értéke	OEIS
1	$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots \to \mathrm{\infty }.$
2	$0,45224742004106549850\dots$	Sablon:OEIS2C
3	$0,17476263929944353642\dots$	Sablon:OEIS2C
4	$0,07699313976424684494\dots$	Sablon:OEIS2C
5	$0,03575501748392425713\dots$	Sablon:OEIS2C
9	$0,00200446757496245066\dots$	Sablon:OEIS2C

Analízis

Integrál

A prím zéta-függvény integrálját végtelentől számítják, mivel pólusa $s=1$-ben nem teszi lehetővé egy kellemes alsó korlát kitűzését már egyes egész értékekre a ág választása és felvágás nélkül:

$\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P(t)dt=\sum _p\frac{1}{p^s\log p}$

A fontosabb értékek megint azok, amelyekre az összeg lassan konvergál:

s	$\sum _{p}1/(p^s\log p)$ közelítő értéke	OEIS
1	$1,63661632\dots$	Sablon:OEIS2C
2	$0,50778218\dots$	Sablon:OEIS2C
3	$0,22120334\dots$
4	$0,10266547\dots$

Derivált

Az első derivált

$P^{\prime }(s)\equiv \frac{d}{ds}P(s)=-\sum _p\frac{\log p}{p^s}$

A fontos értékek azok, amikre az integrál lassan konvergál:

s	$P^{\prime }(s)$ közelítő értéke	OEIS
2	$-0,493091109\dots$	Sablon:OEIS2C
3	$-0,150757555\dots$
4	$-0,060607633\dots$
5	$-0,026838601\dots$

Általánosításai

A Riemann-féle zéta-függvény az egész számok negatív kitevős hatványainak összege, és a prím zéta-függvény a prímek negatív kitevős hatványainak összege. A kettő közötti átmenetet azok a k-prím zéta-függvények adják, amelyekben azoknak az egészeknek a negatív kitevős hatványai adódnak össze, amiknek k, nem feltétlenül különböző prímosztója van:

$P_k(s)\equiv \sum _{n:\mathrm{\Omega }(n)=k}\frac{1}{n^s}$

ahol $\mathrm{\Omega }$ a prímtényezők totális összege.

k	s	$P_k(s)$ közelítő értéke	OEIS
2	2	$0,14076043434\dots$	Sablon:OEIS2C
2	3	$0,02380603347\dots$
3	2	$0,03851619298\dots$	Sablon:OEIS2C
3	3	$0,00304936208\dots$

A Riemann-féle zéta-függvényben a nevezők osztályozhatók a k index szerint, amivel az előáll, mint a $P_k$ függvények összege:

$\zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\dots }{P}_k(s)$

Ha a függvény előállításához csak azokat a prímeket használják, amelyek egy rögzített prímre egy adott maradékosztályba esnek, akkor további végtelen sorozatok keletkeznek, amelyek a Dirichlet-féle L-függvény redukciói.

Források

• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite arXiv
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite arXiv

Fordítás

• Sablon:Fordítás