Brun–Titchmarsh-tétel

Az analitikus számelmélet területén a Viggo Brun és Edward Charles Titchmarsh matematikusokról elnevezett Brun–Titchmarsh-tétel vagy Brun–Titchmarsh-féle egyenlőtlenség felső korlátot ad a prímszámok számtani sorozatbeli eloszlására. Kimondja, hogy ha $\pi (x;q,a)$ a p prímszámokat számolja meg, melyek kongruensek a-val modulo q úgy, hogy p ≤ x, akkor

$\pi (x;q,a)\le \frac{2x}{\phi (q)\log (x/q)}$

minden q < x-re. A tételt a szitamódszer segítséggel Montgomery és Vaughan igazolta; Brun és Titchmarsh csak az egyenlőtlenség egy gyengébb változatát tudta bizonyítani, ahol még egy $1+o(1)$ szorzó tényező is szerepel.

Ha q viszonylag kicsi, pl. $q\le x^{9/20}$, létezik jobb felső korlát is:

$\pi (x;q,a)\le \frac{(2+o(1))x}{\phi (q)\ln (x/q^{3/8})}$

Ezt Y. Motohashi (1973) határozta meg. A Selberg-szita hibatagjának általa felfedezett bilineáris struktúráját használta fel ehhez. Később az ötletét, hogy a szita hibájának struktúráját érdemes felhasználni, az analitikus számelmélet fontos módszerévé fejlesztették, H. Iwaniec kombinatorikus szitához való kiegészítésének köszönhetően.

Ezzel ellentétben, Dirichlet tétele aszimptotikus eredményt ad, ami így fejezhető ki:

$\pi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)\log (x)}\left(1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right)$

de ez csak korlátozottabban érvényesül: q < (log x)^c konstans c-re: ez a Siegel–Walfisz-tétel.

Jegyzetek

• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Mikawa, H. (2001), "b/b110970", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, Sablon:ISBN
• Sablon:Citation.