Véges térfogat módszere

A véges térfogat módszere (angolul finite-volume method, FVM) módszer parciális differenciálegyenletek algebrai alakban való kiértékelésére és ábrázolására. Hasonló a véges differencia módszeréhez vagy végeselem módszeréhez az elemeket egy diszkrét helyen hálós térben számoljuk. A véges térfogat utal egy kis térfogatra amely minden hálópontot körülvesz. Ez a módszer könnyen használható strukturálatlan anyagok esetén.

1D példa

Vegyük a következő egyszerű 1D advekciós parciális differenciál egyenletet.

$(1)\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,t\ge 0.$

Itt, $\rho =\rho (x,t)$ jelenti az állapotváltozót és $f=f\left(\rho (x,t)\right)$ jelenti a fluxusát vagy áramlását a $\rho$ -nak. Természetesen, a pozitív $f$ jelenti a jobb oldali áramlást míg a negatív $f$ jelenti a bal oldali áramlást. Ha feltételezzük, hogy az (1) egyenlet egy állandó területű áramló közeg akkor tudjuk felosztani az $x$ térbeli területtel véges térfogatokra vagy cellákra $i$ indexű cellaközpontokkal. Bizonyos $i$ indexű cellák esetében meg tudjuk határozni a térfogat szerinti átlagos értékét a ${\rho }_i\left(t\right)=\rho (x,t)$ -nak a $t=t_1$ időpillanatba és az $x\in [x_{i-\frac{1}{2}},x_{i+\frac{1}{2}}]$ térfogatelemen, mint

$(2){\overline{\rho }}_i\left(t_1\right)=\frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\rho (x,t_1)dx,$

és a $t=t_2$ időpillanatba mint,

$(3){\overline{\rho }}_i\left(t_2\right)=\frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\rho (x,t_2)dx,$

ahol $x_{i-\frac{1}{2}}$ és $x_{i+\frac{1}{2}}$ jelentik az alsó és felső felületét vagy az éleit a $i^{th}$ cellának.

Ha integráljuk az (1) egyenletet idő szerint akkor kapjuk:

$(4)\rho (x,t_2)=\rho (x,t_1)-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_x(x,t)dt,$

ahol $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$.

Ahhoz, hogy megkapjuk az átlag térfogatot a $\rho (x,t)$ a $t=t_2$ időpillanatban, integráljuk a $\rho (x,t_2)$ a $[x_{i-\frac{1}{2}},x_{i+\frac{1}{2}}]$ cellatérfogaton és osszuk az eredményt $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}$, i.e.

$(5){\overline{\rho }}_i\left(t_2\right)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\{\rho (x,t_1)-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_x(x,t)dt\}dx.$

Feltételezzük, hogy $f$ jól viselkedik, és meg tudjuk cserélni az integrálás sorrendjét. Továbbá, az áramlás merőleges a sejtelemre. Most, amíg egy dimenziójú az $f_x\triangleq \mathrm{\nabla }f$, tudjuk alkalmazni a divergenciatételt, azaz ${\oint }_v\mathrm{\nabla }\cdot fdv={\oint }_{S}fdS$ és helyettesítjük a térfogati integrált az $f(x)$ értékeinek divergenciájával a (élek $x_{i-\frac{1}{2}}$ és $x_{i+\frac{1}{2}}$) cella felületén úgyhogy a véges térfogat:

$(6){\overline{\rho }}_i\left(t_2\right)={\overline{\rho }}_i\left(t_1\right)-\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}(\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_{i+\frac{1}{2}}dt-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_{i-\frac{1}{2}}dt).$

ahol $f_{i\pm \frac{1}{2}}=f(x_{i\pm \frac{1}{2}},t)$.

Tehát származtathatunk egy fél diszkrét numerikus rendszert a fenti cellaközpontú problémát $i$ -vel indexelve és a cella élének fluxusát $i\pm \frac{1}{2}$ indexelve, differenciálva a (6) adott időben kapjuk:

$(7)\frac{d{\overline{\rho }}_i}{dt}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}[f_{i+\frac{1}{2}}-f_{i-\frac{1}{2}}]=0,$

ahol az élek fluxusa, $f_{i\pm \frac{1}{2}}$, rekonstruálható a cella átlagok inter- vagy extrapolációjával. A (7) egyenlet egzakt a térfogatátlagot tekintve; deriválása során nem használtunk approximációt.

Általános megmaradási tétel

Az általános megmaradási tételt a következő parciális differenciálegyenletként is tekinthetjük,

$(8)\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟\left(𝐮\right)=\mathrm{𝟎}.$

Itt az $𝐮$ jelképezi az állapotvektor és $𝐟$ jelképezi a megfelelő fluxus tenzort. Megint fel tudjuk osztani a térbeli domíniumot véges térfogatelemekre vagy cellákra. Bizonyos $i$ cellákra, elvégezhetjük a térfogat integrálást a cella teljes térfogatára, $v_i$, amiből kapjuk:

$(9)\underset{v_i}{\int }\frac{\partial 𝐮}{\partial t}dv+\underset{v_i}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟\left(𝐮\right)dv=\mathrm{𝟎}.$

Az első kifejezés integrálásával megkapjuk az átlag térfogatot és alkalmazzuk a divergencia tételét a második kifejezésre, így a hozam:

$(10)v_i\frac{d{\overline{𝐮}}_i}{dt}+{\oint }_{S_i}𝐟\left(𝐮\right)\cdot 𝐧dS=\mathrm{𝟎},$

ahol $S_i$ jelképezi a teljes felületét a cella területnek és $𝐧$ egy egységvektor normálisa a felületre és kifele mutat. Tehát végül is képesek vagyunk megmutatni egy általános ekvivalens eredményt a (8),

$(11)\frac{d{\overline{𝐮}}_i}{dt}+\frac{1}{v_i}{\oint }_{S_i}𝐟\left(𝐮\right)\cdot 𝐧dS=\mathrm{𝟎}.$

Ismét, az élek fluxusainak értékei rekonstruálhatók a cellák átlagának inter-, extrapolációjával. Az aktuális numerikus rendszer függ az aktuális geometriai problémától és az anyag szerkezetétől.

A véges térfogat rendszerek konzervatívak mint a cella átlagok változása az élek fluxusán keresztül. Más szavakkal, hogy egy cella eltűnik mások megnőnek.

Források

• Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

További információk

• The finite volume method by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• The Finite Volume Method (FVM) – An introduction by Oliver Rübenkönig of Albert Ludwigs University of Freiburg, available under the GFDL. archív
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
• CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach