Euler-integrál

A matematikában kétféle Euler-integrál ismert:

1. Az elsőfajú Euler-integrál a béta-függvény:

   $\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

2. A másodfajú Euler-integrál a gamma-függvény:

   $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

Pozitív egész m és n-re mindkét integrál kifejezhető faktoriálisokkal és binomiális együtthatókkal:

$\mathrm{B}(n,m)=\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}=\frac{n+m}{nm(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})}$

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• Leonhard Euler
• Valószínűségszámítás
• Béta-függvény
• Gamma-függvény

Jegyzetek

• http://mathworld.wolfram.com/EulerIntegral.html