Harmonikus sor

A matematikában harmonikus sornak nevezzük a $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ divergens sort.

Jelentősége

Az elnevezésnek az a forrása, hogy egy h hullámhosszú hang felhangjának a hullámhosszai h/n (n=2,3,...). A

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(h/n)$

sor tehát tartalmazza a hangot az összes felhangjával együtt. Mivel a felhangokat több nyugati nyelven harmonikusoknak is nevezik, így a sor harmonikus.

Konkrétan h/2,h/3,...,h/8 rendre az oktáv, az oktáv és kvint, a második oktáv, a két oktáv és nagy terc, a két oktáv és kvint, a két oktáv és szeptim, valamint a harmadik oktáv hullámhosszai.

A divergencia bizonyítása

Ha a sor n-edik részletösszege s_n, akkor

$s_{2n}-s_n=(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2n})-(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})=(\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n})\ge n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$

minden n-re. Tegyük fel, hogy a sor konvergens és az összege A. Ekkor $n\to \mathrm{\infty }$ esetén $s_{2n}-s_n\to A-A=0$, ami lehetetlen.

Következmények

Végtelen sok prímszám létezik

Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van. A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek $p_1,...,p_k$. Minden i-re és N-re fennállnak az

$1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N}=\frac{1-p_i^{-(N+1)}}{1-\frac{1}{p_i}}<\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

összefüggéseket. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy

$\prod _{i=1}^k(1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N})<\prod _{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb N (hiszen az indirekt feltevés szerint nincs más prím $p_1,...,p_k$-n kívül). Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

$\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod _{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$.

Ez azonban lehetetlen, hiszen

$s_N\to \mathrm{\infty }$, ha $N\to \mathrm{\infty }$.

A prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens

Az előző bizonyítást felhasználva, annak jelöléseit használva bizonyíthatjuk azt is, hogy a prímszámok reciprokaiból alkotott sor is divergens. Hiszen a fentiek alapján

$\prod _{i=1}^N(1+\frac{1}{p_i}+...+\frac{1}{p_i^N})<\prod _{i=1}^N\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

is fennáll minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor itt minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelyiknek a prímtényezős felbontásában az első N prím szerepel, és mindegyik kitevője is legfeljebb N. Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

$\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod _{i=1}^N\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}=\prod _{i=1}^N(1+\frac{1}{p_i-1})$.

Mivel $0<1+\frac{1}{p_i-1}$, vehetjük a két oldal természetes alapú logaritmusát, és becsülhetjük a jobb oldalon a tagokat $\ln x\le x-1$-gyel:

$\ln \left(s_N\right)<\sum _{i=1}^N\ln (1+\frac{1}{p_i-1})\le \sum _{i=1}^N\frac{1}{p_i-1}\le \sum _{i=1}^N\frac{2}{p_i}$,

mivel $p_i\ge 2$, amiért is $p_i/2\le p_i-1$.

Tehát ha $N\to \mathrm{\infty }$, akkor $s_N\to \mathrm{\infty }$, $\ln \left(s_N\right)\to \mathrm{\infty }$, továbbá $2\sum _{i=1}^N\frac{1}{p_i}\to \mathrm{\infty }$.

Emiatt a $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}$ sor divergens.

Források

• Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: Analízis II. Sablon:ISBN